Определение предела функции по Гейне

[Konst24]

Здравствуйте.
Помогите разобраться, пожалуйста.
В учебнике Кудрявцева Л.Д. (1988 г) дано определение предела функции по Гейне так, что
точка $a$ называется пределом функции $f:X \to \mathbb{R}$ в точке $x_0$ если для любой последовательности $x_n \in X, n=1,2,..$, имеющей своим пределом точку $x_0$, последовательность $\left\lbrace f(x_n) \right\rbrace$ имеет своим пределом точку $a$.

Но там не сказано, что члены последовательности $x_n$ не могут быть равны $x_0$. Тогда можно (?) сделать вывод, что кусочная функция, определенная и непрерывная на $\mathbb{R}$, но в которой одна из точек переопределена на другое значение, не имеет предела в этой точке?

К примеру функция
$\left\{ \begin{array}{rcl} 10, x= 0 \\ x^2, x \neq 0 \\ \end{array} \right.$
в точке $x_0 =0$ не имеет предела?

[LMA]

В Википедии рассматриваются последовательности, не содержащие $x_0$.

[Konst24]

LMA в сообщении #1397233 писал(а):

В Википедии рассматриваются последовательности, не содержащие $x_0$.

Это конечно хорошо, но хотелось бы разобраться почему по данному учебнику это условие не учитывается.

[ewert]

Konst24 в сообщении #1397234 писал(а):

хотелось бы разобраться почему по данному учебнику это условие не учитывается.

Об этом написано в предисловии:

Кудрявцев писал(а):

Из существенных методических новшеств, которые автор считает целесообразными, следует отметить, что при определении предела функции по множеству при $x\to x_0$ не требуется выполнения условия $x\neq x_0$, так как это позволяет излагать вопросы, связанные с теорией пределов, проще и короче: например, само определение предела делается короче (на одно условие меньше), а тем самым упрощаются и доказательства

и т.д. Но это он напрасно. Доказательства, может, и упрощаются, да только вот смысл понятия "предел" существенно изменяется, притом в неблагоприятную сторону. Скажем, в Вашем примере предела по Кудрявцеву действительно нет, хотя в нормальном понимании он есть -- ведь интерес представляет именно предельное поведение функции при подходе к точке, значение же в самой точке вовсе ни при чём.

[nnosipov]

В издании 1981 года еще не было этого методического новшества.

[gefest_md]

Konst24
Кудрявцев Л.Д., «Предел функции. Формулы Ньютона-Лейбница и Тейлора.» В этой брошюре сказано, что новое определение раскрывает поведение функции. По обычному определению предел функции не зависит от значения функции в точке $x_0=10.$

[ewert]

Кудрявцева понять можно -- он стремится к экономии мела и типографской краски. И экономия действительно есть. Беда только в том, что достигается она слишком дорогой ценой.

Вот, в частности, он хвастается тем, что при его подходе исчезает необходимость в отдельном введении понятия непрерывности. Поскольку непрерывность в точке сводится к существованию предела в этой точке, оговаривать же ещё и равенство предела значению функции становится излишним.

Между тем это -- принципиальный методический дефект, именно методический. Поскольку определения -- определениями, но фактически такого совпадения может и не быть. И тем самым рассматриваемые классы функций искусственно и необоснованно сужаются.