Топология, многообразия

[metti]

Нужно построить атлас на множестве правильных треугольников в $\mathbb{R}^{3}$
Задал треугольник координатами центральной точки $\mathbb{R}^{3}$, расстоянием от этой точки до вершины $\mathbb{R}_{+}$ и нормалью к плоскости, в которой он лежит $\mathbb{R}{P}^{2}$.
Но что делать дальше, не понимаю. Там еще нужно как-то задать ориентируемость, с ней вообще беда.

[alcoholist]

Это же прямое произведение. Неориентируемое. Достаточно двух карт.

[VanD]

Вам осталось задать координаты на факторе окружности по отношению эквивалентности, при котором эквивалентны всякие три точки, являющиеся вершинами какого-нибудь вписанного правильного треугольника.

Конкретно там хватит двух карт: одна покрывает треть окружности (дугу без концов) и ещё одну карту какую-нибудь в окрестности последней непокрытой точки. Можно такую же дугу, но чуть сдвинутую взять. Ну и склейки этих карт на связных компонентах пересечения по отдельности описать.

И ещё пару карт на $\mathbb{R}P^2$ придётся потратить. Итого в 4 карты выйдет.

[vpb]

VanD в сообщении #1396826 писал(а):

ам осталось задать координаты на факторе окружности по отношению эквивалентности, при котором эквивалентны всякие три точки, являющиеся вершинами какого-нибудь вписанного правильного треугольника.

Этот фактор $S^1$, для него, конечно, двух карт достаточно.
Однако, не "осталось".
Легко заметить (фактически ТС уже заметил), что рассматриваемое многообразие --- это прямое произведение ${\mathbb R}^3\times {\mathbb R}_+\times M$, где $M$ --- множество всех правильных треугольников, у которых центр --- начало координат в ${\mathbb R}^3$, а расстояние от центра до вершины равно $1$. Значит, фактически достаточно раскартировать $M$.

$M$ --- это расслоение (нетривиальное)... Подумайте, какая у него база, какой слой...

VanD в сообщении #1396826 писал(а):

И ещё пару карт на $\mathbb{R}P^2$ придётся потратить.

Гм. А сколько карт надо для ${\mathbb R}P^2$ ? Мне кажется $3$, а $2$ недостаточно, или я что-то путаю ? (Я не знаю, на самом деле).

-- 31.05.2019, 08:35 --

Я на самом деле в этих вещах не специалист, просто кое-что прикинул сейчас на пальцах. А откуда задача ?

[VanD]

vpb в сообщении #1396855 писал(а):

Гм. А сколько карт надо для ${\mathbb R}P^2$ ? Мне кажется $3$, а $2$ недостаточно, или я что-то путаю ?

Честно говоря, я поторопился про две написать. Обычные три карты с однородными координатами -- это так или иначе наиболее удобно.

vpb в сообщении #1396855 писал(а):

$M$ --- это расслоение (нетривиальное)... Подумайте, какая у него база, какой слой...

А почему это не $\mathbb{R}P^2\times S^1/T$, где $T$ -- то самое отношение эквивалентности? Как на $M$ устроена топология тогда?

[Munin]

vpb в сообщении #1396855 писал(а):

А сколько карт надо для ${\mathbb R}P^2$ ? Мне кажется $3$, а $2$ недостаточно, или я что-то путаю ? (Я не знаю, на самом деле).

Если картам нельзя "склеиваться" самим с собой, то мне кажется, 3 (а если можно, то сферу можно покрыть одной картой). Ниже нестрогое рассуждение.

Возьмём обычную сферу $S^2,$ и будем "красить" её картой, отмечая вместе с каждой точкой её противоположную. Вначале мы включим в карту какую-то малую область, которая будет образовывать "две полярные шапочки", разделённые кольцеобразной "экваториальной полосой". Их можно расширить почти до экватора, до пересечения.

Если две "шапочки" где-то соприкоснутся, то сразу произойдёт и соприкосновение в противоположной точке, и мы получим "кольцо", которое покрыть одной картой нельзя. Значит, мы не должны допускать соприкосновения.

А тогда остаётся кольцеобразная "экваториальная полоса", которая разделяет "шапочки". Её мы начинаем "закрашивать" второй картой. Аналогичное рассуждение не даёт покрыть одной картой всю полосу, и в итоге карт получается 3.

Думаю, аналогичное рассуждение приводит к тому, что $\mathbb{R}P^n$ покрывается минимум $n+1$ картой.

[vpb]

Munin в сообщении #1396928 писал(а):

Ниже нестрогое рассуждение.

Да, это правдоподобное рассуждение.

VanD в сообщении #1396920 писал(а):

А почему это не $\mathbb{R}P^2\times S^1/T$, где $T$ -- то самое отношение эквивалентности? Как на $M$ устроена топология тогда?

$S^1/T$ --- гомеоморфно $S^1$, как уже писалось. Вообще, подождем, может ТС сам что-то сообразит. Не полагается ведь писать готовые решения. Или Вы сами по книжке (не знаю, правда, по какой лучше) почитайте, что такое расслоение в топологии, и что они могут быть нетривиальными.

[g______d]

Про $\mathbb R\mathbb P^n$ я нашёл такую статью:

https://link.springer.com/chapter/10.1007%2FBFb0085228

но не обнаружил, предполагается ли там, что координатные окрестности связны.

У автора есть два определения минимального атласа, и они совпадают во всех случаях, кроме, возможно, $n=31$ и $n=47$.

[VanD]

vpb в сообщении #1396988 писал(а):

Вообще, подождем, может ТС сам что-то сообразит. Не полагается ведь писать готовые решения

Ну ответ-то про топологию на $M$ никакого отношения к решению не имеет? Я имел в виду буквально, какие множества треугольников из $M$ открытыми предполагаете Вы? Может быть тут она какая-то предполагалась изначально, отличная от той, которую начал описывать ТС? Или было просто множество треугольников, без топологии, а остальное на усмотрение строящего, лишь бы что-то построилось? С гладкой структурой-то именно так выходит, может она там не одна с точностью до эквивалентности даже при фиксированной топологии?

А нетривиальными расслоения могут быть из-за соответствующего устройства топологии, о которой я и спрашивал. Грубо говоря, при наличии типового слоя всегда можно считать, что изначально расслоение было тривиальным, а потом тотальное пространство пересшили другой топологией так, что расслоение осталось расслоением, но стало нетривиальным.

vpb в сообщении #1396988 писал(а):

$S^1/T$ --- гомеоморфно $S^1$, как уже писалось.

Чтобы можно было работать с исходным пространством в координатах, придётся вводить их для $S^1/T$. Насколько я понимаю, решение такой задачи в духе "а оно гомеоморфно тому-то, а там есть координаты" не будет засчитано. Сам гомеоморфизм придётся описывать явно, то есть, опять же, вводить координаты на $S^1/T$.

[Munin]

g______d
Потрясающе! (Насколько я был неправ!)

Правда, я сразу воткнулся в то, что определение

Цитата:

$n+1=2^k m,$ где $m$ нечётно

$n(\mathbb{RP}^n)=\begin{cases}\textsl{max}\{2,m\} & \quad\textsl{если }k\leqslant 3 \\ \textsl{наименьшее целое }\geqslant\dfrac{n+1}{2(k+1)} & \quad\textsl{если }k\geqslant 3. \end{cases}$

даёт для $7+1=8=2^3\cdot 1$ два конфликтующих ответа 2 и 1. Ну, наверное, это мелочь, подразумевается 2 (непонятно, как проективное пространство покрыть одной картой).

Интересно, как можно $\mathbb{RP}^3$ покрыть двумя картами!

-- 01.06.2019 15:52:54 --

VanD в сообщении #1397019 писал(а):

Ну ответ-то про топологию на $M$ никакого отношения к решению не имеет? Я имел в виду буквально, какие множества треугольников из $M$ открытыми предполагаете Вы?

Извиняюсь за то, что вмешиваюсь. Но полагаю, каждый треугольник предполагается заданным своими тремя вершинами, каждая из которых в $\mathbb{R}^3.$ И чтобы взять окрестность треугольника, можно взять три окрестности этих вершин, попарно не пересекающиеся. А эти окрестности подразумеваются в стандартном евклидовом метрическом смысле (шары или кубы, что захочется). Окрестности дают базу окрестностей, а она - топологию.

Единственное, что здесь, кажется, нужно уточнить - это включать ли "треугольники с нулевой длиной стороны".

[vpb]

Топология как обычно, т.е. два треугольника считаются близко лежащими, если они друг от друга мало отличаются.
Дадим формальное определение, в довольно большой общности.

Пусть $(X,\rho)$ --- метрическое пространство. Расстояние от точки $x\in X$ до подмножества $A\subseteq X$ определяется как обычно, т.е.

$$ \rho(x,A)=\inf \{\rho(x,y)\mid y\in A\}. $$

Пусть теперь $A,B\subseteq X$ --- два подмножества. Тогда положим

$$\rho(A,B)=\max \{ \sup\{\rho(a,B)\mid a\in A\}, \sup\{\rho(b,A)\mid b\in B\} \}. $$

Другими словами, $\rho(A,B)\leq\varepsilon$, если каждая точка из $A$ лежит на расстоянии не более $\varepsilon$ от $B$, а каждая точка из $B$ --- на расстоянии не более $\varepsilon$ от $A$.
Несложно понять, что относительно этого расстояния множество всех замкнутых подмножеств в $X$ --- метрическое пространство. Топология на множестве треугольников --- это частный случай данной, когда $X={\mathbb R}^3$, и рассматриваются только подмножества, являющиеся равносторонними треугольниками.

[Munin]

vpb
Есть ли какое-либо название и обозначение для множества

$$\{x\in X\mid \exists\,a\in A\colon\rho(a,x)\leqslant\varepsilon\}\,\,?$$

(или со знаком $<$)

[vpb]

Я думаю, что подразумевалась в задаче именно такая обычная топология.

Разукрашивать весь атлас полностью потребовало бы слишком длинного текста и больших усилий. Это я насчет

VanD в сообщении #1397019 писал(а):

Чтобы можно было работать с исходным пространством в координатах, придётся вводить их для $S^1/T$. Насколько я понимаю, решение такой задачи в духе "а оно гомеоморфно тому-то, а там есть координаты" не будет засчитано. Сам гомеоморфизм придётся описывать явно, то есть, опять же, вводить координаты на $S^1/T$.

-- 01.06.2019, 18:45 --

Munin в сообщении #1397141 писал(а):

сть ли какое-либо название и об

Думаю, замкнутая, соотв. открытая, $\varepsilon$-окрестность множества $A$.