График функции $y = 1/x^2$

[Solaris86]

У этого графика есть 2 асимптоты: горизонтальная $y = 0$ и вертикальная $x = 0$.
При вычислении площадей получаем следующее:
1. $\int \limits_{0}^{1} \frac {1}{x^2} = + \infty$
2. $\int \limits_{1}^{+\infty} \frac {1}{x^2} = 1$
Вопрос такой: почему в первом случае площадь получилась бесконечной, а во втором случае - конечной, ведь в обоих случаях есть асимптоты?

[Pphantom]

А как из наличия асимптоты следует конечность или бесконечность площади?

[svv]

Пусть $x=100$. Чему тогда равен $y$?
Пусть $y=100$. Чему тогда равен $x$?

[Solaris86]

Pphantom в сообщении #1397096 писал(а):

А как из наличия асимптоты следует конечность или бесконечность площади?

Ну, при вычислении площадей бесконечных криволинейных трапеций иногда получаются конечные результаты. Я не могу понять, от чего зависит конечность или бесконечность площади, вот и думал, что от наличия асимптоты. От чего тогда зависит, если не от наличия асимптоты?

[Munin]

Solaris86
Гипербола бывает "широкая" и "узкая" (или "толстая" и "тонкая").
Это выражается через значение $\int_{0}^{1}\tfrac{1}{x^k}dx$ или $\int_{1}^{+\infty}\tfrac{1}{x^{1/k}}dx.$
Пока $k$ маленький - гипербола "узкая", и её площадь конечная. (Экспонента, например, всегда "узкая" - точнее, "узкий" логарифм, а экспонента "тонкая", потому что лежит на горизонтальной асимптоте.)
Предельное значение $k=1.$ Начиная с этого значения и дальше - гипербола становится "широкой", и её площадь становится бесконечной.

Можете посчитать $f(k)=\int_{0}^{1}\tfrac{1}{x^k}dx,$ и рассмотреть её как функцию от $k.$ Она должна возрастать и устремиться в бесконечность в точке $k=1.$

А вообще, асимптоты бывают самые разные. Например, горизонтальная асимптота функции $|x|-x.$ Или асимптота функции $e^{-x}\sin(\exp(\exp x)).$ И это даже не из серии "нехороших примеров". Можно взять функцию Дирихле, и помножить её на $1/x.$ Не надо думать, что асимптота так уж напрямую связана с площадью.

-- 01.06.2019 17:43:59 --

Solaris86 в сообщении #1397100 писал(а):

Ну, при вычислении площадей бесконечных криволинейных трапеций иногда получаются конечные результаты. Я не могу понять, от чего зависит конечность или бесконечность площади, вот и думал, что от наличия асимптоты. От тогда зависит, если не от наличия асимптоты?

В общем случае, ни от чего не зависит, просто надо пытаться посчитать соответствующую площадь (интеграл), и всё. Либо получится конечное значение, либо бесконечное.

Сам по себе этот факт используется как характеризующий другие свойства функции.

Ещё, может быть, вас заинтересует понятие "порядок роста / убывания функции", "эквивалентность функций", всякие оценки сверху и снизу.

[Pphantom]

Solaris86 в сообщении #1397100 писал(а):

От тогда зависит, если не от наличия асимптоты?

От функции. Munin выше уже подробно расписал.

[svv]

Видит ли автор темы, что график совершенно не симметричен относительно прямой $y=x$?

[Solaris86]

svv в сообщении #1397099 писал(а):

Пусть $x=100$. Чему тогда равен $y$?
Пусть $y=100$. Чему тогда равен $x$?

Пусть $x = 100$, тогда $y = 0.0001$.
Пусть $y = 100$, тогда $x = \pm 0.1$.

[svv]

Вот.
"Горизонтальная" часть графика гораздо плотнее прилегает к горизонтальной асимптоте, чем "вертикальная" часть к вертикальной асимптоте.
$y$ гораздо быстрее убывает с ростом $x$, чем $x$ убывает с ростом $y$.
Сравните $y=x^{-2}$ и $x=y^{-1/2}$.

[SiberianSemion]

Solaris86, про несобственные интегралы почитайте. Когда функция не ограничена, интеграл от неё в обычном понимании не существует (интегрируемые функции должны быть ограничены), поэтому в этом случае интеграл берут по меньшему отрезку, а затем предельно переходят к исходному отрезку. Например, ваш первый интеграл в таком понимании есть $\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \int\limits_{\varepsilon}^{1} \frac 1{x^2}\,dx.$ От конечности этого предела и зависит конечность/бесконечность интеграла.

Асимптоты тут ни при чем.

[Munin]

svv в сообщении #1397104 писал(а):

Видит ли автор темы, что график совершенно не симметричен относительно прямой $y=x$?

Должен видеть. Это первым делом надо нарисовать.

-- 01.06.2019 17:54:36 --

Solaris86, SiberianSemion
Под интегралом положено ещё $dx$ писать, напоминаю.

-- 01.06.2019 18:01:45 --

https://acomics.ru/~limitman/92

[SiberianSemion]

(Оффтоп)

Munin, исправил. По молодости забываю дифференциал.

[Munin]

SiberianSemion
Вам ещё предстоит привыкнуть, что если под дифференциалом написаны разные вещи, то и интегралы могут быть совершенно разными.

[Solaris86]

Всем спасибо за ответы. Понял.

Munin в сообщении #1397101 писал(а):

Предельное значение $k=1.$ Начиная с этого значения и дальше - гипербола становится "широкой", и её площадь становится бесконечной.

Можете посчитать $f(k)=\int_{0}^{1}\tfrac{1}{x^k}dx,$ и рассмотреть её как функцию от $k.$ Она должна возрастать и устремиться в бесконечность в точке $k=1.$

Тут не понял. Что понимается под словом "предельное" значение $k$?
И как посчитать функцию от k, когда там уже есть переменная $x$?

[Munin]

О!
Вам знакомо такое понятие, как зависимость задачи и ответа от параметра?