Пространства со счётными базами и сетями

[PeterSam]

Здравствуйте!
1. Необходимо выяснить, имеет ли пространство $X$ счётную базу, если оно представимо как объединение двух своих подпространств $A$ и $B$, каждое из которых имеет счётную базу?

Смотрю на определения базы и не понимаю, какие выводы можно сделать.
Зато знаю, что если пространство имеет счётную базу, то оно сепарабельно, то есть содержит счётное, всюду плотное подмножество. Пусть $M \subset A$ - счётно и всюду плотно в $A$. Очевидно, что $M$ является и подмножеством $X$ тоже. Тогда остаётся выснить, является ли $M$ всюду плотным в $X$, то есть выполняется ли равенство $\overline{M}=X$. И вот тут тупик...

Как вариант, пытался предъявить пример пространства, когда это свойство не выполняется (тогда ответ на задачу - "нет, может не иметь счётной базы"), но опять же, ничего не пришло в голову.


2. Также нужно проверить то же самое утверждение для счётных сетей. Но, в отличие от пространств со счётными базами, у счётных сетей нет таких хороших свойств типа сепарабельности.

[Someone]

PeterSam в сообщении #1347241 писал(а):

Зато знаю, что если пространство имеет счётную базу, то оно сепарабельно, то есть содержит счётное, всюду плотное подмножество.

А обратное неверно: сепарабельное пространство (даже просто счётное) не обязано иметь счётную базу.

PeterSam в сообщении #1347241 писал(а):

Пусть $M \subset A$ - счётно и всюду плотно в $A$. Очевидно, что $M$ является и подмножеством $X$ тоже. Тогда остаётся выснить, является ли $M$ всюду плотным в $X$, то есть выполняется ли равенство $\overline{M}=X$.

С чего бы вдруг? Или про $A$ что-то ещё известно, кроме того, что оно является подмножеством $X$? Например, если $A$ всюду плотно в $X$, а $M$ всюду плотно в $A$, то $M$ будет всюду плотным и в $X$ (доказательство совершенно элементарное).

PeterSam в сообщении #1347241 писал(а):

Как вариант, пытался предъявить пример пространства, когда это свойство не выполняется

Какое свойство? Сепарабельность? Объединение не более чем счётного семейства сепарабельных подпространств, очевидно, сепарабельно. К той задаче, которую Вы пытаетесь решать, это отношения не имеет, так что Вы идёте в ложном направлении.

Попробуйте построить счётное пространство несчётного веса, которое является объединением двух подпространств счётного веса. Пример очень простой.

PeterSam в сообщении #1347241 писал(а):

Также нужно проверить то же самое утверждение для счётных сетей. Но, в отличие от пространств со счётными базами, у счётных сетей нет таких хороших свойств типа сепарабельности.

Здесь тоже непонятно, причём тут сепарабельность, хотя из существования счётной сети сепарабельность следует точно так же, как из существования счётной базы.
Впрочем, что Вы понимаете под сетью топологического пространства? У меня возникло подозрение, что Вы меете в виду что-то не то, что мне известно под этим названием. Сформулируйте, пожалуйста, определение.

[PeterSam]

Someone в сообщении #1347299 писал(а):

PeterSam в сообщении #1347241
писал(а):
Как вариант, пытался предъявить пример пространства, когда это свойство не выполняется

Какое свойство? Сепарабельность?

Нет, я о том утверждении, которое нужно доказать. То есть я пытался найти и предъявить конкретный пример пространства $X$, не имеющего счётной базы (как прямая $R$, например), но представимого в виде объединения двух своих подпространств, имеющих счётные базы.

Someone в сообщении #1347299 писал(а):

Попробуйте построить счётное пространство несчётного веса, которое является объединением двух подпространств счётного веса. Пример очень простой.

Вес пространства - это минимум мощностей всех баз этого пространства. Так-так..пространство $Q$ рациональных чисел не подходит - оно счётно, но его вес тоже счётен...

Someone в сообщении #1347299 писал(а):

Впрочем, что Вы понимаете под сетью топологического пространства?

Сеть топологического пространства $X$ - семейство подмножеств (необязательно открытых, в отличие от базы!!!) множества $X$, таких, что каждое открытое в $X$ множество можно представить в виде объединения некоторого числа элементов этого семейства.

[Someone]

PeterSam в сообщении #1347419 писал(а):

не имеющего счётной базы (как прямая $R$, например)

Числовая прямая со стандартной топологией имеет счётную базу.

PeterSam в сообщении #1347419 писал(а):

Сеть топологического пространства $X$ - семейство подмножеств (необязательно открытых, в отличие от базы!!!) множества $X$, таких, что каждое открытое в $X$ множество можно представить в виде объединения некоторого числа элементов этого семейства.

Правильно. Теперь докажите, что топологическое пространство со счётной сетью сепарабельно. Если Вы умеете доказывать аналогичное утверждение для счётной базы, то проблемы у Вас не должно возникнуть.

PeterSam в сообщении #1347419 писал(а):

пространство $Q$ рациональных чисел не подходит - оно счётно, но его вес тоже счётен

Конечно, не подходит. Пространство, которое я имел в виду, устроено проще. Это просто сходящаяся последовательность вместе с предельной точкой, и к каждой точке этой последовательности "прицеплена" ещё одна сходящаяся последовательность. Например, так. Рассмотрим на плоскости (с системой координат $Oxy$) множество $X$, являющееся объединением следующих подмножеств (я для удобства считаю, что натуральный ряд $\mathbb N$ не содержит нуля; если Вы считаете иначе, просто замените во всяких дробях знаменатель $n$ на $n+1$ и т. п.):
1) точка $O=(0,0)$;
2) множество $K=\{A_n:n\in\mathbb N\}$, где $A_n=\left(\frac 1n,0\right)$;
3) множества $L_n=\{B_{m,n}:m\in\mathbb N\}$, $n\in\mathbb N$, где $B_{m,n}=\left\{\left(\frac 1n,\frac 1m\right):m\in\mathbb N\right\}$.
Базу топологии образуют множества следующих видов:
1) одноточечные множества $\mathcal B_{m,n}=\{B_{m,n}\}$, $m,n\in\mathbb N$;
2) множества $\mathcal A_{m,n}=\{A_n,B_{k,n}:k\geqslant m\}$, $m,n\in\mathbb N$ (последовательность, сходящаяся к $A_n$, вместе с предельной точкой $A_n$);
3) множества $\mathcal O_{n,\bar m}=\{O\}\cup\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\mathcal A_{k,m_k}$, где $\bar m=(m_k:k\in\mathbb N)$ — последовательность натуральных чисел.

Схема доказательства.
1) Доказать, что пространство $X$ является объединением двух подпространств счётного веса (в качестве этих подпространств можно взять $\{O\}\cup K$ и $\bigcup\limits_{n\in\mathbb N}L_n$; Вам нужно доказать, что эти подпространства имеют счётный вес).
2) Доказать следующую лемму: если задано счётное множество последовательностей натуральных чисел $\bar m_n=(m_{k,n}:k\in\mathbb N)$, $n\in\mathbb N$, то существует последовательность натуральных чисел $\bar m=(m_k:k\in\mathbb N)$, растущая быстрее их всех, то есть, например, удовлетворяющая неравенствам $m_k>m_{k,n}$ для всех $k\in\mathbb N$ и всех $n\leqslant k$.
3) Используя указанную лемму, доказать, что пространство $X$ не имеет счётной базы.

[PeterSam]

Здравствуйте! Через большой промежуток времени пришлось вернуться к этой задаче.
Someone, спасибо за пример! Но есть такой вопрос.

Someone в сообщении #1347472 писал(а):

Используя указанную лемму, доказать, что пространство $X$ не имеет счётной базы.

Пространство $X$, построенное Вами, является подпространством плоскости, правильно я понимаю? Но ведь каждое подпространство плоскости имеет счётную базу, разве не так?

Или дело в том, что $X$ здесь не рассматривается как подпространство плоскости с обычной топологией?

[Someone]

PeterSam в сообщении #1396446 писал(а):

Пространство $X$, построенное Вами, является подпространством плоскости, правильно я понимаю?

Неправильно.

PeterSam в сообщении #1396446 писал(а):

Но ведь каждое подпространство плоскости имеет счётную базу, разве не так?

Конечно.

PeterSam в сообщении #1396446 писал(а):

Или дело в том, что $X$ здесь не рассматривается как подпространство плоскости с обычной топологией?

Попробуйте это доказать. Для этого достаточно указать в $X$ открытое подмножество, которое не является пересечением с $X$ никакого открытого подмножества плоскости.

[PeterSam]

Someone в сообщении #1396450 писал(а):

Для этого достаточно указать в $X$ открытое подмножество, которое не является пересечением с $X$ никакого открытого подмножества плоскости.

Это любое одноточеченое подмножество $\left\lbrace B_{m,n} \right\rbrace, m, n \in \mathbb{N}$.

[Someone]

PeterSam в сообщении #1397053 писал(а):

Это любое одноточеченое подмножество $\left\lbrace B_{m,n} \right\rbrace, m, n \in \mathbb{N}$.

Нет. Возьмите открытый круг радиуса $\min\left\{\frac 1n-\frac 1{n+1},\frac 1m-\frac 1{m+1}\right\}$ с центром в точке $B_{m,n}$.
Кроме того, множество таких точек счётно, а у описанного пространства вес несчётный.

[PeterSam]

Someone в сообщении #1397059 писал(а):

Нет. Возьмите открытый круг радиуса $\min\left\{\frac 1n-\frac 1{n+1},\frac 1m-\frac 1{m+1}\right\}$ с центром в точке $B_{m,n}$.

Хм. Да, действительно, спасибо.

Рассуждаю дальше. Переберём тогда различные открытые в $X$ множества.
Открытыми в $X$ являются:
1) все одноточеченые подмножества $\left\lbrace B_{m,n} \right\rbrace$ и их всевозможные объединения. Ни то, ни другое нам не подходит.
2) "последовательности, сходящиеся к $A_n$, вместе с предельной точкой $A_n$". Они нам тоже не подходят, можно найти открытое на плоскости множество, в пересечении с $X$ дающее эту последовательность с предельной точкой. Что-то типа открытого эллипса, по большой полуоси которого "выстроилась" эта последовательность.
3) Всевозможные объединения множеств из п.2 и п.3. Тоже не подходит по аналогичной причине.
4) Множества $\mathcal O_{n,\bar m}=\{O\}\cup\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\mathcal A_{k,m_k}$, где $\bar m=(m_k:k\in\mathbb N)$ — последовательность натуральных чисел. Насколько я понял, это объединение точки $O$ и некоторых (начиная с номера $n$) последовательностей, сходящихся к $A_n$, вместе с предельной точкой $A_n$. Но и тогда найдётся открытое подмножество в плоскости, в пересечении с $X$ дающее $\mathcal O_{n,\bar m}$

Эх.. если бы открытыми в этом пространстве были одноточеченые множества, состоящие из предельных точек на оси $Ox$ или точка $O$ , то их бы можно было привести в пример. Но они не открыты.

[Someone]

PeterSam в сообщении #1397069 писал(а):

Множества $\mathcal O_{n,\bar m}=\{O\}\cup\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\mathcal A_{k,m_k}$, где $\bar m=(m_k:k\in\mathbb N)$ — последовательность натуральных чисел. Насколько я понял, это объединение точки $O$ и некоторых (начиная с номера $n$) последовательностей, сходящихся к $A_n$, вместе с предельной точкой $A_n$. Но и тогда найдётся открытое подмножество в плоскости, в пересечении с $X$ дающее $\mathcal O_{n,\bar m}$

Вас не затруднит указать это открытое множество? Например, возьмите $m_k=k$.

-- Сб июн 01, 2019 22:04:43 --

Да, потом ещё надо будет доказать, что вес этого пространства несчётный.

[monoid2]

Someone в сообщении #1347472 писал(а):

PeterSam в сообщении #1347419 писал(а):

не имеющего счётной базы (как прямая $R$, например)

Числовая прямая со стандартной топологией имеет счётную базу.

PeterSam в сообщении #1347419 писал(а):

Сеть топологического пространства $X$ - семейство подмножеств (необязательно открытых, в отличие от базы!!!) множества $X$, таких, что каждое открытое в $X$ множество можно представить в виде объединения некоторого числа элементов этого семейства.

Правильно. Теперь докажите, что топологическое пространство со счётной сетью сепарабельно. Если Вы умеете доказывать аналогичное утверждение для счётной базы, то проблемы у Вас не должно возникнуть.

PeterSam в сообщении #1347419 писал(а):

пространство $Q$ рациональных чисел не подходит - оно счётно, но его вес тоже счётен

Конечно, не подходит. Пространство, которое я имел в виду, устроено проще. Это просто сходящаяся последовательность вместе с предельной точкой, и к каждой точке этой последовательности "прицеплена" ещё одна сходящаяся последовательность. Например, так. Рассмотрим на плоскости (с системой координат $Oxy$) множество $X$, являющееся объединением следующих подмножеств (я для удобства считаю, что натуральный ряд $\mathbb N$ не содержит нуля; если Вы считаете иначе, просто замените во всяких дробях знаменатель $n$ на $n+1$ и т. п.):
1) точка $O=(0,0)$;
2) множество $K=\{A_n:n\in\mathbb N\}$, где $A_n=\left(\frac 1n,0\right)$;
3) множества $L_n=\{B_{m,n}:m\in\mathbb N\}$, $n\in\mathbb N$, где $B_{m,n}=\left\{\left(\frac 1n,\frac 1m\right):m\in\mathbb N\right\}$.
Базу топологии образуют множества следующих видов:
1) одноточечные множества $\mathcal B_{m,n}=\{B_{m,n}\}$, $m,n\in\mathbb N$;
2) множества $\mathcal A_{m,n}=\{A_n,B_{k,n}:k\geqslant m\}$, $m,n\in\mathbb N$ (последовательность, сходящаяся к $A_n$, вместе с предельной точкой $A_n$);
3) множества $\mathcal O_{n,\bar m}=\{O\}\cup\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\mathcal A_{k,m_k}$, где $\bar m=(m_k:k\in\mathbb N)$ — последовательность натуральных чисел.

Схема доказательства.
1) Доказать, что пространство $X$ является объединением двух подпространств счётного веса (в качестве этих подпространств можно взять $\{O\}\cup K$ и $\bigcup\limits_{n\in\mathbb N}L_n$; Вам нужно доказать, что эти подпространства имеют счётный вес).
2) Доказать следующую лемму: если задано счётное множество последовательностей натуральных чисел $\bar m_n=(m_{k,n}:k\in\mathbb N)$, $n\in\mathbb N$, то существует последовательность натуральных чисел $\bar m=(m_k:k\in\mathbb N)$, растущая быстрее их всех, то есть, например, удовлетворяющая неравенствам $m_k>m_{k,n}$ для всех $k\in\mathbb N$ и всех $n\leqslant k$.
3) Используя указанную лемму, доказать, что пространство $X$ не имеет счётной базы.

А вы уверены, что заданная система подмножеств - база? Если взять последовательности чётных и нечётных чисел, то построенные по ним элементы базы вида 3) будут иметь в пересечении только $\{O\} $, а это множество не содержит элементов базы, что противоречит свойству баз топологическое пространств.

Может, стоит сделать $\{O\} $ элементом базы? Нет ли у этой конструкции названия? Мне было бы очень полезно.

[Someone]

monoid2 в сообщении #1437525 писал(а):

А вы уверены, что заданная система подмножеств - база?

Зачем мне быть "уверенным", если это легко доказывается?

monoid2 в сообщении #1437525 писал(а):

Если взять последовательности чётных и нечётных чисел, то построенные по ним элементы базы вида 3) будут иметь в пересечении только $\{O\} $

Нет. Вы что-то упустили в определении топологии. Пересечение множеств вида 3) есть снова множество вида 3): $\mathcal O_{n_1,\bar m_1}\cap\mathcal O_{n_2,\bar m_2}=\mathcal O_{\max\{n_1,n_2\},\max\{\bar m_1,\bar m_2\}}$, где максимум двух последовательностей понимается в таком же смысле, как максимум двух функций: $\max\{f,g\}(x)=\max\{f(x),g(x)\}$.

[monoid2]

Someone в сообщении #1437546 писал(а):

monoid2 в сообщении #1437525 писал(а):

Если взять последовательности чётных и нечётных чисел, то построенные по ним элементы базы вида 3) будут иметь в пересечении только $\{O\} $

Нет. Вы что-то упустили в определении топологии. Пересечение множеств вида 3) есть снова множество вида 3): $\mathcal O_{n_1,\bar m_1}\cap\mathcal O_{n_2,\bar m_2}=\mathcal O_{\max\{n_1,n_2\},\max\{\bar m_1,\bar m_2\}}$, где максимум двух последовательностей понимается в таком же смысле, как максимум двух функций: $\max\{f,g\}(x)=\max\{f(x),g(x)\}$.

Соглашусь с вами, если последовательность в
Вашем определении содержит обязательно все натуральные числа. Я же называю последовательностями и $(1,1,1,1,....)$ и $(2, 4, 6, 8,...)$, в данном случае я привожу пример, когда последовательности не имеют общих элементов: $(1, 3, 5, 7,...)$ и $(2, 4, 6, 8,...)$, тогда последовательности точек на плоскости вместе с предельными точками, сходящиеся к чётным и нечётным предельными точкам, не будут иметь общих элементов, и множества вида 3), построенные по ним, не будут иметь общих кроме точки $O$, может, тогда так доопределим понятие последовательность как бесконечная последовательность Всех натуральных чисел?

[Someone]

monoid2 в сообщении #1437573 писал(а):

Соглашусь с вами, если последовательность в
Вашем определении содержит обязательно все натуральные числа. Я же называю последовательностями и $(1,1,1,1,....)$ и $(2, 4, 6, 8,...)$,

Извините, но у меня в определении топологии всё написано. И написано очень точно. Ваших последовательностей там нет.

[monoid2]

Someone в сообщении #1437657 писал(а):

Ваших последовательностей там нет.

Хорошо, тогда давайте подумаем. Кстати, не думайте, что я не сел и не расписал аккуратно Ваши определения, и не нарисовал графики, прежде чем писать сюда. Разобраться до конца мне бы очень хотелось.

Пусть ${\bar m_1} = (1, 3, 5, 7,...)$ — последовательность нечётных чисел, ${\bar m_2} = (2, 4, 6, 8,...)$ — последовательность чётных чисел.

Являются ли множества $\mathcal O_{1,\bar m_1} и $\mathcal O_{1,\bar m_2} элементами базы, построенной Вами?