Теория возмущений

[pogulyat_vyshel]

Незатейливая такая задачка, и более того даже стандартный факт. Но тем, кто с этими вопросами близко не соприкасался может быть интересно. Кстати, физикам это должно быть близко.

Дана гладкая система дифференциальных уравнений

$$\dot x=\varepsilon f(t,x),\quad (t,x)\in\mathbb{R}^{m+1},\quad f(t+1,x)=f(t,x),$$

$\varepsilon\in\mathbb{R}$ -- параметр.
Введем функцию $\hat f(x)=\int_0^1f(t,x)dt$ и предположим, что имеется точка $x_*$ ,обладающая следующими свойствами

$$\hat f(x_*)=0,\quad \det\frac{\partial \hat f}{\partial x}(x_*)\ne 0.$$

Задача: доказать следующую теорему.

Теорема. Существует положительное число $\varepsilon_0$ накое, что для всех $\varepsilon,\quad |\varepsilon|<\varepsilon_0$ система имеет 1-периодическое решение $x_\varepsilon(t)$, причем $\max_{t\in\mathbb{R}}|x_\varepsilon(t)-x_*|\to 0$ при $\varepsilon\to 0$.

[Munin]

Переведу для себя. $f$-вектор, $\hat{f}$ - отображение пространства на себя, $\det(\partial \hat{f}/\partial x)$ - якобиан.

Пусть $\xi(t,x)$ - решение задачи Коши $\dot{x}=\varepsilon f(t,x),\quad \xi(0,x)=x.$

Пусть $\tilde{f}(x)=\int_0^1 f(t,\xi(t,x))dt,$ тогда $\tilde{f}(x)=\xi(1,x).$
Условие 1-периодичности для некоторого $x$ выглядит как $\tilde{f}(x)=0.$

В пределе $\varepsilon\to 0$ будет $\tilde{f}\to\hat{f}.$
Значит, в какой-то $\varepsilon$-окрестности нуля есть $\delta$-окрестность $x_*,$ в которой есть точка $\tilde{f}=0.$

[DeBill]

Munin
Ну, типа того, только надоть чуток аккуратнее...

Munin в сообщении #1392327 писал(а):

Пусть $\xi(t,x)$ - решение задачи Коши $\dot{x}=\varepsilon f(t,x),\quad \xi(0,x)=x.$

Пусть $\tilde{f}(x)=\int_0^1 f(t,\xi(t,x))dt,$ тогда $\tilde{f}(x)=\xi(1,x).$
Условие 1-периодичности для некоторого $x$ выглядит как $\tilde{f}(x)=0.$

В пределе $\varepsilon\to 0$ будет $\tilde{f}\to\hat{f}.$
Значит, в какой-то $\varepsilon$-окрестности нуля есть $\delta$-окрестность $x_*,$ в которой есть точка $\tilde{f}=0.$

Пусть $\xi(t,x,\varepsilon)$ - решение задачи Коши $\dot{x}=\varepsilon f(t,x),\quad \xi(0,x,\varepsilon)=x.$
Пусть $\tilde{f}(x,\varepsilon)=\int_0^1 f(t,\xi(t,x,\varepsilon))dt,$ тогда $\varepsilon\tilde{f}(x,\varepsilon)=\xi(1,x,\varepsilon)-x.$
Условие 1-периодичности для некоторого $x$ и ненулевого $\varepsilon$ выглядит как $\tilde{f}(x,\varepsilon)=0.$
В пределе $\varepsilon\to 0$ будет $\tilde{f}\to\hat{f}.$ (непрерывность по $x,\varepsilon$) и, более того, гладкость по всем переменным - по теореме о гадкой зависимости решений от нач. условий и параметров).
Значит, в какой-то $\varepsilon$-окрестности нуля есть $\delta$-окрестность $x_*,$ в которой есть точка $\tilde{f}=0.$ (по теоерме о неявной).

[pogulyat_vyshel]

DeBill в сообщении #1395737 писал(а):

по теоерме о неявной

угу

[Munin]

DeBill в сообщении #1395737 писал(а):

$\varepsilon\tilde{f}(x,\varepsilon)=\xi(1,x,\varepsilon)-x.$

Да, спасибо. Неприятно настолько грубо налажать.