Движения пространства.

[trunb1]

svv
1)"Простыми словами, направление обхода меняется, если либо вершины прыгают на другое основание, либо применяется отражение, но не то и другое вместе." (а это очевидный факт или как-то доказывается?) Я, быть может, что-то не понял, но Ваш контрпример как раз показывает, что это не всегда верно.
2)То есть из-за того, что все 16 вершин либо остаются на тех же основаниях, либо меняют своё основание на противоположное, мы можем сказать, что в группе 32 элемента?

[svv]

trunb1 в сообщении #1395587 писал(а):

1)"Простыми словами, направление обхода меняется, если либо вершины прыгают на другое основание, либо применяется отражение, но не то и другое вместе." (а это очевидный факт или как-то доказывается?) Я, быть может, что-то не понял, но Ваш контрпример как раз показывает, что это не всегда верно.

Сначала нам нужно хорошо понять, в чём состоит утверждение, а потом можно будет попробовать его доказать.

Пример первый.

svv в сообщении #1395488 писал(а):

Перевернём призму.

Лежала она на столе на одном основании, а мы положили её на другое. Здесь "нижние" вершины становятся "верхними" и наоборот, но отражения при этом не применяются. Следовательно, направления обхода изменятся (муравей, ползший по нижнему основанию по часовой стрелке, будет теперь ползти по верхнему против часовой стрелки).

Пример второй.

svv в сообщении #1395543 писал(а):

Например, можно отразить призму относительно плоскости, проходящей через середины оснований, и направление обхода сохранится.

Здесь "нижние" вершины становятся "верхними" и наоборот, и достигается это операцией отражения. Следовательно, направление обхода не меняется.

Пример третий. Отражаем призму в вертикальном зеркале. Нижние вершины остаются нижними, а верхние верхними. Отражение применяется. Следовательно, направление обхода изменяется (муравей, ползущий по часовой стрелке, в вертикальном зеркале кажется ползущим против часовой стрелки).

-- Пн май 27, 2019 14:40:57 --

trunb1 в сообщении #1395587 писал(а):

То есть из-за того, что все 16 вершин либо остаются на тех же основаниях, либо меняют своё основание на противоположное, мы можем сказать, что в группе 32 элемента?

Давайте я скажу своими словами. Логика элементарная. Рассмотрим две смежные (лежащие на одном основании) вершины $A$ и $B$.
Вершина $A$ может перейти в любую из 16 вершин. Пусть она перешла в $A'$.
Если $A'$ известна, то вершина $B$ может перейти в одну из 2 вершин $B'$, смежных с $A'$.
Зная, куда перешли $A$ и $B$, Вы знаете, куда перешли все остальные вершины.
Следовательно, существует $32$ допустимых преобразования призмы в себя.

[trunb1]

svv
Хорошо, а почему мы уверены что при отображении вершина переходят в вершину, а не куда-то еще? Интуитивно вроде понятно, но все же хочется обосновать это как-то.

-- 27.05.2019, 20:07 --

svv
И последний вопрос:быть может, есть ли какой-то способ при подсчете элементов группы не забыть ни про что? Просто для меня было неочевидным композиция отражения относительно плоскости, проходящей через середины боковых ребер и поворотов.

[Munin]

trunb1 в сообщении #1395763 писал(а):

Хорошо, а почему мы уверены что при отображении вершина переходят в вершину, а не куда-то еще?

Ну как бе, движение должно быть биекцией. Ещё хорошо бы изометрией. А тогда, взяв малую окрестность вершины (в виде шара), мы можем сказать, какая часть этого шара пересекается с исходной призмой, и описать её в виде $n$-гранного угла. Можно введя систему координат, можно как-то иначе. И доказать, что образ такой окрестности тоже должен быть таким же углом. В общем, возни много, но препятствий не ожидается.

trunb1 в сообщении #1395763 писал(а):

И последний вопрос:быть может, есть ли какой-то способ при подсчете элементов группы не забыть ни про что?

Получите какую-то оценку на элементы группы сверху и снизу. Когда они совпадут - вы ни про что не забыли.

Если элементов бесконечно много - например, можно формулировать оценки сверху и снизу в виде образующих и соотношений.
Если группа непрерывная (группа Ли) - то в виде размерностей.
Хотя тут можно обсчитаться в числе связных компонент или в факторизации по дискретной подгруппе... вот тут не знаю.

[arseniiv]

Можно поставить вопрос уже — про конечные точечные группы, как описание группы здесь.

[svv]

trunb1 в сообщении #1395763 писал(а):

почему мы уверены что при отображении вершина переходят в вершину, а не куда-то еще?

Единственная роль вершин — ограничить множество преобразований так, чтобы они образовали нужную группу. Если мы имеем право повернуть призму на 17.4937 градусов, так, что образ вершины будет где-то между вершинами, зачем тогда именно восьмиугольная призма? Не проще ли взять цилиндр? А если допускаются любые вращения, можно взять шар либо вообще одну неподвижную точку. Но в таком случае мы получим совсем другую группу.

[Munin]

svv в сообщении #1395848 писал(а):

Если мы имеем право повернуть призму на 17.4937 градусов, так, что образ вершины будет где-то между вершинами, зачем тогда именно восьмиугольная призма? Не проще ли взять цилиндр?

Кстати, группу движений цилиндра тоже полезно рассмотреть. Она, вроде, состоит из четырёх окружностей?

svv в сообщении #1395848 писал(а):

А если допускаются любые вращения, можно взять шар либо вообще одну неподвижную точку.

Ну, с шаром сложновато для начинающих.

[svv]

Нет, я не предлагаю их рассматривать. Я предупреждаю, что, допустив другие движения, мы получим совсем другую конструкцию. Нам же нужна группа симметрий восьмиугольной призмы.

[Connector]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1395851 писал(а):

Ну, с шаром сложновато для начинающих.

А в чем сложность с шаром? В том, что группа бесконечна?

[Munin]

svv в сообщении #1395877 писал(а):

Нет, я не предлагаю их рассматривать.

Зато я предлагаю.

Connector в сообщении #1395883 писал(а):

А в чем сложность с шаром? В том, что группа бесконечна?

Нет.
Сами по себе бесконечные непрерывные группы я не считаю сложными. Более того, думаю, что полезно сразу с ними познакомиться.
1. Группа $(\mathbb{R},{+})$ действительных чисел по сложению. Ну что в ней сложного? Числовая прямая.

Она же - группа параллельных переносов прямой на себя.

2. Группа $(\mathbb{R}^2,{+})$ двумерных векторов по сложению. Геометрически она образует плоскость.

Она же - комплексные числа по сложению. Она же - группа параллельных переносов плоскости.

3. Группа $(\mathbb{R}^\ast,{\cdot})$ обратимых действительных чисел по умножению. Тут надо разобраться в компонентах.

Является прямым произведением группы из двух элементов и группы, изоморфной примеру 1.

4. Группа поворотов плоскости вокруг фиксированной точки $O.$ Представляет собой окружность.

Она же получается из $(\mathbb{R},{+})$ факторизацией по дискретной подгруппе $2\pi\,\mathbb{Z}$ - сдвигов на числа, кратные $2\pi.$

5. Группа $(\mathbb{R}^\ast,{\cdot})$ обратимых комплексных чисел по умножению. Представляет собой плоскость с выколотой точкой.

Эта группа содержит в себе две предыдущих. Является ли она их прямым произведением? Не совсем. Но в прямое произведение её разложить можно.

Этот набор примеров сразу показывает многие встречающиеся случаи и соотношения:
- группы разных размерностей;
- компактные и некомпактные группы;
- связные компоненты, факторизация, прямое произведение.

Однако в мире непрерывных групп (групп Ли) довольно быстро возникают примеры, требующие некоторой подготовки и тренировки. Препятствия тут такие:
- группы имеют большую размерность;
- группы часто раскладываются не в прямое, а в полупрямое произведение групп меньших размерностей; кроме того, есть и простые группы.
В частности, чтобы работать с такими группами, часто используют не наглядные геометрические образы, а матрицы и другие вычислительные средства. Для этого надо знать линейную алгебру.

Пример: можно рассмотреть группы поворотов $n$-мерного евклидова пространства вокруг фиксированной точки $O$ (кстати, они имеют обозначение $\mathrm{SO}(n)$):
- $n=1$ - группа тривиальна, состоит из одного элемента;
- $n=2$ - группа представляет собой окружность, то есть имеет внутреннюю размерность 1;
- $n=3$ - группа имеет внутреннюю размерность 3, но в 3-мерное пространство не вкладывается;
- $n=4$ - группа имеет внутреннюю размерность уже 6;
- вообще $n$ - группа имеет внутреннюю размерность $n(n-1)/2.$
Как видите, с наскоку разобраться с этими группами может быть неудобно. Чтобы представлять себе случай $n=3,$ используют матрицы, или можно использовать векторы или кватернионы, но с дополнительными уточнениями. Для $n>3$ остаются практически только матрицы.

Ещё пример: группа всех движений евклидовой плоскости. Она тоже имеет внутреннюю размерность 3, и устроена довольно неочевидно (она близкий родственник $\mathrm{SO}(3),$ поскольку движения сферы переходят в движения плоскости при устремлении радиуса сферы в бесконечность).

В общем, все эти вещи обычно рассказывают попозже, когда слушатель будет готов. (А на многих направлениях и специальностях вообще не рассказывают, хотя физикам, например, это остро нужно.) Но мне кажется, что обстоятельный рассказ можно отложить на потом, а первое знакомство дать пораньше.

[alcoholist]

Munin в сообщении #1395922 писал(а):

Группа $(\mathbb{C}^\ast,{\cdot})$ обратимых комплексных чисел по умножению. Представляет собой плоскость с выколотой точкой.
Эта группа содержит в себе две предыдущих. Является ли она их прямым произведением? Не совсем. Но в прямое произведение её разложить можно.

Прямое произведение 1 и 4, $e^{x+i\varphi}\cdot e^{x'+i\varphi'}=e^{x+x'+i(\varphi+\varphi')}$.

[Munin]

alcoholist
Ну чего вы детям подсказываете :-)
"Две предыдущих" - это примеры 3 и 4.

[alcoholist]

Munin в сообщении #1395936 писал(а):

Ну чего вы

я просто не понял, что это упражнения:((