Группы Ли

[Polarny]

$G$ - группа Ли с метрикой Картана-Киллинга. $K_A$ - секционная кривизна. Показать, что $K_A\geqslant 0$ вдоль любой двумерной касательной плоскости для любой точки $G$.

$K_A(\alpha)=\frac{<R(x,y)y,x>}{\det(<x,y>)}$,
где $\alpha$ касательная плоскость, $x,y\in \alpha$, $(<x,y>)$ - матрица Грамма.
Метрика Картана-Киллинга - это лево- и правоинвариантная метрика одновременно.
Ещё знаю, что $<R(x,y)y,x>=-\frac{1}{4}<[x,y],[y,x]>$ для левоинвариантных векторных полей.
Но как из этого получить выражение для $K_A$?

[svv]

Секционная кривизна в точке зависит только от выбора 2-плоскости $\alpha$. Поэтому можно взять $x$ и $y$ единичными и ортогональными. Тогда определитель Грама (пишется с одним «м») равен $1$, и $K(\alpha)=\langle R(x,y)y, x\rangle$.

Polarny в сообщении #1394530 писал(а):

знаю, что $<R(x,y)y,x>=-\frac{1}{4}<[x,y],[y,x]>$

Так как $[y,x]=-[x,y]$, правую часть можно переписать в виде
$\frac 1 4\langle[x,y],[x,y]\rangle=\frac 1 4|[x,y]|^2\geqslant 0$.

[Polarny]

Спасибо! А где использовалось наличие метрики Картана-Киллинга?

-- 23.05.2019, 03:00 --

svv в сообщении #1394678 писал(а):

Так как $[y,x]=-[x,y]$

Здесь?

[svv]

Нет, не здесь, скобка Ли вообще антикоммутативна.
Вот здесь:

Polarny в сообщении #1394530 писал(а):

$<R(x,y)y,x>=-\frac{1}{4}<[x,y],[y,x]>$

Вот цитата из Милнора (Curvatures of Left Invariant Metrics on Lie Groups):

Цитата:

... sectional curvarures associated with a bi-invariant metric can be computed by the explicit formula

$$\kappa(u,v)=\frac 1 4\langle[x,y],[x,y]\rangle$$

У Милнора входящие сюда векторы $x$ и $y$ ортогональны и единичны.