сумма корней разной степени алгебраична над полем

[beroal]

Цитата:

Докажите, что каждое из следующих чисел алгебраично над $\mathbb{Q}$: … (g) $\sqrt{2}+\sqrt[3]{4}$

Дело в том, что теоремы, из которых следует, что $\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt[3]{4})$ конечнопорождённое и алгебраическое расширение поля $\mathbb{Q}$, находятся в следующих разделах учебника. Я полагаю, читателю предлагается найти многочлен с корнем $\sqrt{2}+\sqrt[3]{4}$ каким-то элементарным способом. Перед задачей разбирается пример $\sqrt{1+\sqrt{2}}$, для которого многочлен находится элементарно. Я попробовал найти многочлен для $\sqrt{2}+\sqrt[3]{4}$ с помощью алгоритмов из соответствующих теорем, и потребовался долгий и кропотливый труд. (Результат: $-x^6 + 6 x^4 + 8 x^3 -12 x^2 + 48 x -8$.) Что в данном случае требуется от читателя? Может, есть какой-то простой способ, которого я не увидел?

[Slav-27]

Если бы было трансцендентно, то его степени были бы линейно независимы над $\mathbb Q$, чего не может быть, потому что все они линейно выражаются через......

[kotenok gav]

beroal в сообщении #1394199 писал(а):

$\sqrt{2}+\sqrt[3]{4}$

Приравниваете к x, переносите корень из 2, возводите в куб, представляете корень из 2 в виде дроби, возводите в квадрат.

[nnosipov]

beroal в сообщении #1394199 писал(а):

Я попробовал найти многочлен для $\sqrt{2}+\sqrt[3]{4}$ с помощью алгоритмов из соответствующих теорем, и потребовался долгий и кропотливый труд.

Если искать минимальный многочлен, то да, эта задача потребует некоторых усилий. А если какой-то многочлен, то здесь все очевидно, причем можно действовать разными способами.

[dmd]

Пусть $a^2=2$ и $b^3=4$. Тогда в pari/gp через оператор Результант:

? polresultant(a+b-x,a^2-2,a)
%2 = x^2 - 2*b*x + (b^2 - 2)
?
? polresultant(%,b^3-4,b)
%3 = x^6 - 6*x^4 - 8*x^3 + 12*x^2 - 48*x + 8
?

(или в Вольфраме)

[Sonic86]

beroal в сообщении #1394199 писал(а):

Цитата:

Докажите, что каждое из следующих чисел алгебраично над $\mathbb{Q}$: … (g) $\sqrt{2}+\sqrt[3]{4}$

Если $\alpha_i$ - сопряженные корни одного многочлена, а $\beta_j$ - сопряженные корни другого многочлена, то рассмотрите множество всех $\alpha_i + \beta_j$, постройте из них многочлен. Рассмотрите перестановки корней, меняется ли многочлен при их действии?

[beroal]

nnosipov в сообщении #1394307 писал(а):

А если какой-то многочлен, то здесь все очевидно, причем можно действовать разными способами.

Ну, мне не очевидно.

-- Tue May 21, 2019 09:49:06 --

dmd в сообщении #1394312 писал(а):

Пусть $a^2=2$ и $b^3=4$. Тогда в pari/gp

То есть вы считаете, что автор учебника предлагает читателю использовать систему компьютерной алгебры?

[dmd]

beroal в сообщении #1394319 писал(а):

То есть вы считаете, что автор учебника предлагает читателю использовать систему компьютерной алгебры?

Вряд ли, конечно. Просто проиллюстрировал способ получить многочлен.

(ещё можно делением полиномов с остатком)

Кто-то, вроде бы Савватеев, рассказывал, что в 19-м веке многочлены преподавались в универах очень подробно, не так как сейчас. Внутри оператора Результант простейшие матричные операции, которые для простых примеров можно выполнить вручную на листке бумаги.

[nnosipov]

beroal в сообщении #1394319 писал(а):

Ну, мне не очевидно.

Но с примером $\sqrt{1+\sqrt{2}}$ Вы же, как пишите, разобрались. Здесь идея та же --- несколько раз возвести в нужную степень (один раз в куб и один раз в квадрат в данном случае), чтобы избавиться от радикалов. Это работает, когда радикалов не слишком много (а иначе придется использовать дополнительные трюки). Понятие результанта позволяет решать подобные задачи (когда вместо радикалов произвольные алгебраические иррациональности) на регулярной основе, а система компьютерной алгебры --- быстро получить правильный ответ.

[beroal]

dmd в сообщении #1394332 писал(а):

Кто-то, вроде бы Савватеев, рассказывал, что в 19-м веке многочлены преподавались в универах очень подробно, не так как сейчас. Внутри оператора Результант простейшие матричные операции, которые для простых примеров можно выполнить вручную на листке бумаги.

Это вы находите наибольший общий делитель $a^2-2, b^3-4, (a+b)-x$?

-- Tue May 21, 2019 17:53:09 --

kotenok gav в сообщении #1394251 писал(а):

Приравниваете к x, переносите корень из 2, возводите в куб, представляете корень из 2 в виде дроби, возводите в квадрат.

nnosipov в сообщении #1394350 писал(а):

Здесь идея та же --- несколько раз возвести в нужную степень (один раз в куб и один раз в квадрат в данном случае), чтобы избавиться от радикалов.

Кажется, я понял, почему я зашёл в тупик. Я работал с рациональными многочленами. А сделать многочлен $x-\sqrt{2}$, который имеет значение $\sqrt[3]{4}$ в точке $\sqrt{2} + \sqrt[3]{4}$, как-то не догадался.

Всем спасибо.