И еще один элементарный подход к ВТФ при n=3.

[Sonic86]

Посвящается всем участникам форума и ферматистам !
Я тоже ничем не хуже других и поэтому тоже решил внести "вклад" в "доказательство" ВТФ.

Пусть существуют натуральные $x,y,z: x^3+y^3=z^3$. Тогда существуют положительные рациональные
$u,v: u^3+v^3=1$. $u^3+v^3=1 \leftrightarrow (u+v)((u+v)^2-3uv)=1, u+v=s, uv=t, s(s^2-3t)=1$.
Это уравнение разрешимо в рациональных числах.
$t= \frac{1}{3} (s^2-1/s), s$ - положительное рациональное число.
$t>0 \leftrightarrow s^2-1/s>0 \leftrightarrow s^2-1/s>0 \leftrightarrow s>1$
Остается проверить разрешимость уравнения $r^2-sr+t=0$ (т. Виета для $u,v$) в рациональных
$s,t$. Оно разрешимо в рациональных $\leftrightarrow D=s^2-4t$ - квадрат.
То есть существуют рациональные $a,s,t: s^2- \frac{4}{3} (s^2-1/s)=a^2$.
$a,s,t: s^2- \frac{4}{3}(s^2-1/s)=a^2 \leftrightarrow \frac{4-s^3}{3s}=a^2$.
$s= \frac{m}{n} >1 \leftrightarrow m>n, gcd(m,n)=1$. Кроме того $4-s^3>0 \leftrightarrow m< \sqrt[3]{4}n$.
То есть $ \sqrt[3]{4} n>m>n$ Подставим:
$\frac{4-s^3}{3s}=a^2 \leftrightarrow \frac{4n^3-m^3}{3mn^2}=a^2 \leftrightarrow 3m(4n^3-m^3)=(3mna)^2$
Слева - натуральное, значит справа - натуральное. К числу справа применимо понятие "делимость".
Число слева делится на m, но оно - квадрат, значит делится на $m^2$. Это возможно при
$m | 3(4n^3-m^3) \leftrightarrow m |12n^3, gcd(m,n)=1 \rightarrow m |12 \rightarrow m=1,2,3,4,6,12$
А $m>n$. Тупым перебором убеждаемся, что решений нет.
Значит нет решения и уравнения $x^3+y^3=z^3$.

Если тут все правильно (в чем я очень сомневаюся ), то имеет место прогресс - я не использовал
комплексных чисел. Хотя можно ли это обобщить - другой вопрос.
Наконец, к в настоящем математическом доказательстве, здесь вообще нет смысла.

З.Ы. Товарищи! Доказательство ВТФ - это дело серьезное, требующее творческого подхода!
Предлагаю каждому в качестве знака уважения и почета к этому форуму "доказать" ВТФ!
Ура!

[Алексей К.]

Sonic86 писал(а):

(1) $\ldots$ Остается проверить разрешимость уравнения $z^2-sz+t=0$ (т. Виета для $u,v$)

(2) $\ldots$ $s=frac{m}{n}$

(3) $\ldots$ $3m(4n^3-m^3)=(3mna)^2$

(4) Это возможно при $\ldots$ $m |12 \rightlongarrow m=1,2,3,4,6$

(5) $\ldots$ Наконец, к в настоящем математическом доказательстве, здесь вообще нет смысла.

(1) Откуда оно взялось, это уравнение? Или буковку $z$ новым смыслом наделили? Дополнительно --- теорема Виета формулируется для некого уравнения, а не для неких переменных $(u,v)$;

(2) заодно и это

(3) Нельзя ли сократить на $3m$, упрощая дальнейшие выводы?

(4) Понял: следует читать $m |12 \longrightarrow m=1,2,3,4,6$. Сравните с Вашей абракадаброчкой... Вы до сих пор не посмотрели внимательно свой текст?

(5) Непонятно, может, из-за орфографии. Лень угадывать.

[MaximKat]

Sonic86 писал(а):

Число слева делится на m, но оно - квадрат, значит делится на $m^2$.

Поясните, пожалуйста.

[Алексей К.]

Автор излишне витиеват (не путать с виетом): то, что число слева делится на $m^2$ практически явно записно в формуле $\underbrace{3m(4n^3-m^3)}_{\mbox{\small .
А что, через пункт (1) моих непоняток Вам удалось проскочить?

[MaximKat]

С пунктом 1 все нормально. $z$ в уравнении - это не тот $z$, что в теореме Ферма.
А вот с $m^2$ все не так просто. Напоминаю, что $a$ - не целое.

[juna]

Ошибка именно там, где указал MaximKat
Sonic86
Замените $a=\frac{k}{l}$ и докажите невозможность решения в натуральных числах уравнения $(4n^3-m^3)l^2=3mn^2k^2$, тогда это будет доказательство.

[Алексей К.]

MaximKat в сообщении #139122 писал(а):

Напоминаю, что a - не целое.

Понял, спасибо. Остаётся надеяться, что автор хорошо отдохнул.

[Sonic86]

Я исправил.
MaximKat прав. Где было $z^2-sz+t=0$ $z$ не тот, что в $x^3+y^3=z^3$. Щас тоже исправлю: $z$ заменю на $r$.
Juna, насчет целостности: $a$ - не целое, но выражение слева - целое, ибо целым является выражение справа, так что там правильно. Так что $a=k/l$ я делать не буду.

Кстати, для $n=5$ так тоже можно доказать. Проблема кажется в том, чтобы слева выделить квадрат, а справа - целое число, которое формально делится на параметр, но не на квадрат его.

[MaximKat]

Sonic86
Вопрос в моем первом посте остается в силе.

[juna]

Вот здесь http://dxdy.ru/topic11254.html аналогичный (типовой) прокол.

[Sonic86]

Я еще раз повторюсь: мы вывели:
$3m(4n^3-m^3)=(3mna)^2$
$a$ - не целое, но из начального предположения следует, что это равенство верно (существует такая тройка, что ...). $m,n$ - целые. Значит слева - целое число, значит справа - тоже целое (если не целое - то решения нет, ч.т.д.). Тогда и справа - тоже целое. Значит оно - квадрат натурального числа. Кроме того, раз оно целое, то оно делится на $m$.
Ааааааа, вы имеете ввиду, что если $m$ - составное, то оно может делить квадрат, в то время как $m^2$ - не делит. Типа 8 делит $4^2$, но $8^2$ не делит $4^2$. А жаль.... все доказательство испортили
Ну я подумаю

[MaximKat]

Совершенно верно

[Sonic86]

Будем считать, что я пошутил