Неприводимость многочленов над конечными полями.

[vpb]

По мне, лучшие книжки по теории чисел -- это Виноградов, Основы теории чисел, и Боревич-Шафаревич.

[nnosipov]

vpb в сообщении #1389291 писал(а):

По мне, лучшие книжки по теории чисел -- это Виноградов, Основы теории чисел, и Боревич-Шафаревич.

Я бы добавил сюда еще Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987. Не помешает и предварительный курс элементарной теории чисел (Ю.В. Нестеренко, Теория чисел). А вот Ленга и Серра можно читать, по-моему, только после хотя бы Б.-Ш. Впрочем, учебников и книг по теории чисел много, тут нужно исходить из конкретных запросов.

-- Чт апр 25, 2019 13:34:28 --

Duelist в сообщении #1389261 писал(а):

Листок НМУ. 1 курс, 2 семестр (текущий).

Я так и подумал, но с ходу найти не удалось. Лучше бы его (листок) видеть целиком, контекст может быть важен.

[Duelist]

vpb в сообщении #1389291 писал(а):

и Боревич-Шафаревич.

Посмотрел. Ценная книга, да. Думаю, её можно параллельно с "Алгебраическими числами" Ленга читать.

nnosipov в сообщении #1389312 писал(а):

А вот Ленга и Серра можно читать, по-моему, только после хотя бы Б.-Ш.

Мне так не кажется. Ну, про Серра не уверен, давно смотрел. Но вот, во-первых, к "Алгебре" Ленга я привык; просматривал его книжку по алгебраическим числам: там органичное продолжение и углубление того, что есть в "Алгебре", но с акцентом на числовых полях. В самом начале вообще пересказывается содержание 2 главы "Алгебры": простые идеалы, кто для идеалов, локализация.

nnosipov в сообщении #1389312 писал(а):

Впрочем, учебников и книг по теории чисел много, тут нужно исходить из конкретных запросов.

Если смотреть ещё дальше, то моя цель: освоить теорию чисел в рамках Алгебраической теории чисел по Касселсу-Фрёлиху. А ещё дальше будет видно, но вот такой математикой я хочу заниматься (не обязательно только такой, но это очень важный ориентир для меня).

Вот листок.
5 или 6 задач из него я решил.

http://ium.mccme.ru/postscript/s19/algebra2-list05.pdf

Есть и шестой листок - на теорию Галуа. Но его сейчас нет на сайте.

P.S. Я могу иногда достаточно долго не отвечать. Прошу не счесть за грубость: я заметил, что мне полезно иногда не отвлекаться на интернет несколько суток. Даже если речь идёт о содержательных и полезных разговорах и консультациях: я несколько рассредотачиваюсь.

[nnosipov]

Duelist в сообщении #1389376 писал(а):

Вот листок.

Спасибо, посмотрел. Вполне вменяемый набор задач, так что решайте с удовольствием. По-видимому, опечатка в задаче 5.9 --- вместо $\mathbb{F}_2[x]$ нужно $\mathbb{F}_{p^n}[x]$. Задача 5.1 --- какая-то банальность или я чего-то не понимаю? Дополнение к несложной задаче 5.7 (от меня) --- то же самое для уравнения $x^3+y^3=1$ (это просто чтобы почувствовать, насколько сложными могут быть подобные вопросы).

Duelist в сообщении #1389376 писал(а):

Я могу иногда достаточно долго не отвечать.

Я тоже :) Чтобы дать адекватный ответ (совет), тоже иногда нужно подумать.

[Duelist]

nnosipov в сообщении #1389395 писал(а):

По-видимому, опечатка в задаче 5.9 --- вместо $\mathbb{F}_2[x]$ нужно $\mathbb{F}_{p^n}[x]$.

Да, прямо сейчас с семинара. Там $x^{p^{n}}-x-1$ неприводим над $F_{p^{n}}$. Эту задачу я сдал.

[nnosipov]

Duelist в сообщении #1389399 писал(а):

Там $x^{p^{n}}-x-1$ неприводим над $F_{p^{n}}$.

Даже так, я думал, речь про многочлен $x^p-x-1$ (тоже содержательная задача). В Вашей формулировке ответ таков: неприводим только при $n=1$. Когда-то здесь на dxdy мы эту задачу обсуждали: topic67663.html

[Duelist]

Кстати, решил 5.11. из этого листка: про то, что между $F_7(x^7,y^7)$ и $F_7(x,y)$ существует $100$ полей.

Вообще, я решил задачу из Ленга. У него там после главы про алгебраические расширения есть задача:
пусть $t, u$ алгебраически независимы над $k$, характеристика $k$ равна $p$. Доказать, что степень $k(t,u)$ над $k(t^p,u^p)$ равна $p^2$ ; доказать, что между этими полями существует бесконечное кол-во промежуточных подполей. Первое утверждение доказал сразу, а второе - только сегодня.
5.11 просто из этого следует, как частный случай.

Я при этом использовал одну идею из док-ва теоремы о примитивном элементе в том же Ленге.
Основное рассуждение такое. Пусть $F= k(t^p,u^p)$, предположим, что кол-во промежуточных подполей бесконечно. Рассмотрим $F(t+h_i u) h_i \in F.$ Тогда найдутся $h_1, h_2$ $F(t+h_1 u)=F(t+h_2 u),$ откуда выводится, что $F(t+h_1 u)=k(t,u),$ но вместе с тем можно показать, что $\mathrm{deg}$ $F(t+h_1 u) / F = p$ и тем самым получить противоречие.

[vpb]

Duelist
При оформлении математических текстов есть такое правило: между формулами надо вставлять слова. Например, Вы написали $F(t+h_iu)$ $h_i\in F$. Это какая-то ерунда (получилась из-за того, что между двумя формулами ТеХ вставил слишком маленький пробел). Надо так: $F(t+h_iu)$, для некоторого $h_i\in F$ (или "где $h_i$ --- некоторый элемент из $F$").

[Munin]

Можно вставить \quad.
$F(t+h_i u),\quad h_i \in F.$
$F(t+h_i u)\quad (h_i \in F).$
$\exists\,h_i \in F\colon F(t+h_i u).$
Но вообще, вставлять слова - лучше всего.

[Duelist]

vpb
Согласен, да. Извиняюсь за небрежность.
Конечно, я хотел сказать следующее. Пусть $\{h_i: i \in I \}$ - бесконечное семейство эл-тов $F$. Рассмотрим $ \{F(t+h_i u): i \in I \}$.
При рассмотрении $h_1$ и $h_2$ подразумевалась перенумерация.

-- 27.04.2019, 04:47 --

Munin в сообщении #1389700 писал(а):

$\exists\,h_i \in F\colon F(t+h_i u).$

Квантор существования здесь не подразумевается.
Вот $\exists$ $h_1,$ $h_2$ ... - это да, именно так. Дальше можно "формалистски" открыть скобку, а можно написать: "такие, что..." . Ну и здесь лучше второе, да)

[Duelist]

nnosipov
vpb

nnosipov в сообщении #1389258 писал(а):

Рассмотрите два случая: 1) $n$ не является степенью тройки; 2) $n$ --- степень тройки. Первый случай Вы фактически разобрали, а во втором можно вспомнить про круговые многочлены.

Добрый день.
Я решил эту задачу но, в сущности, для $\mathbb{Q}$.

Я воспользовался стандартным рекуррентым соотношением: $x^n -1= \prod_{d|n} \Phi_\frac{n}{d}$ и выводящимся отсюда $\Phi_{p^r} (x) = \Phi_{p} (x^{p^{r-1}}) .$
Получил, что во всех случаях, когда $n$ - не степень тройки, и $n=3^{k}t,$ то $x^{2n}+x^n+1$ делится на $\Phi_{3^{k+1}} (x)$ , и потому приводим.
Если же $n=3^k$, то $x^{2n}+x^n+1=\Phi_{3^{k+1}} (x).$

Но вот незадача. В Ленге круговые многочлены определяются, как априори неприводимые над $\mathbb{Q}:$ минимальный многочлен примитивного корня из единицы заданной степени над $\mathbb{Q}$ (такой корень априори имеется в замыкании).
Потом доказывается, что его корни - это все примитивные корни из единицы заданной степени и только они. Но это над $\mathbb{Q}.$

Над полем характеристики $p$, мне каким определением пользоваться, и там всё просто и хорошо обобщается?
Что будет, что меняется?

Извиняюсь, если вопрос глупый, я вообще сейчас долго об одном не могу думать, нужно заканчивать главы по теории Галуа в Ленге, ещё дополнить Ван дер Варденом и решить другой листок.

[nnosipov]

Duelist в сообщении #1392093 писал(а):

Над полем характеристики $p$, мне каким определением пользоваться, и там всё просто и хорошо обобщается?
Что будет, что меняется?

Возможно, мой коллега посоветует получше, но мне ничего другого в голову не приходит: нужно прочитать раздел 2.47 в книге Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. М.: Мир, 1988. Наверное, в данном частном случае можно как-то выкрутиться без этой общей теоремы (лень думать, честно говоря), но в перспективе этот факт про круговые многочлены не помешает узнать. По модулю этой теоремы решение данной задачи --- мелкое техническое упражнение.

Собственно, теорема такова: при $\gcd{(q,N)}=1$ многочлен $\Phi_N(x)$ распадается над полем $\mathbb{F}_q$ в произведение $\varphi(N)/d$ неприводимых сомножителей степени $d$, где $d$ --- порядок числа $q$ по модулю $N$. В нашем случае $N=3^{k+1}$ и $q=p^n=p^{3^k}$ (можно считать $p \neq 3$, ибо случай $p=3$ очевиден).

[Duelist]

nnosipov
Спасибо. Я обязательно посмотрю, а вот, когда изучу - вопрос объёмов, которые я там увижу и моего расписанного по секундам времени (объёмы всего очень большие).
Вот скоро лето: как-то более по-человечески буду ботать.
Но я понял, что вопрос нетривиальный и необходимый, раз Вы на книгу сослались.

[nnosipov]

Duelist в сообщении #1392097 писал(а):

Но я понял, что вопрос нетривиальный и необходимый

По-моему, да. Вообще, его бы на лекциях разбирать надо, а не в задачах давать.