Диаграммная техника Фейнмана и Келдыша

[coagulator]

Здравствуйте, дорогие коллеги!

Тут уже когда-то поднималась тема с теоремой Хаага и её горячим обсуждением. По мотивам этой дискуссии у меня возникло несколько вопросов касательно теории возмущений (ТВ) в КТП. Как выяснилось, такие важные моменты как ограниченность спектра гамильтониана снизу, адиабатичность взаимодействия (возможно еще какие-то) опускаются в таких каноничных книгах как Пескин-Шредер. Отсюда первые два вопроса:
1. К какой литературе нужно обратиться, чтобы увидеть обсуждение этих моментов? (желательно все таки современной)
2. Если я просто пишу производящий функционал теории и раскладываю его по сумме диаграмм, то на какой стадии моих вычислений возникает необходимость выполнения описанных выше условий?

Также, я находил упоминание о том, что при рассмотрении нестационарной теории основное состояние этой теории может в результате эволюции "выходить за пространство Фока". Вообще, если я правильно понимаю, то единственная модификация ТВ в технике Швингера-Келдыша состоит в том, что теперь взаимодействие "не выключается". Последний вопрос:
3. А что еще меняет техника Швингера-Келдыша?

По мотивам обсуждения теоремы Хаага, сложилось впечатление, что проблемы расходимостей КТП лежат в несепарабельности Гильбертова пространства. Не является ли техника Швингера-Келдыша попыткой нового взгляда на эту проблему? Хотя, конечно, вроде как и в Келдыше асимптотические ряды...

[Утундрий]

Вам поможет, если я авторитетно заявлю, что не в состоянии за одну минуту осознать, о чем была речь?

[physicsworks]

coagulator в сообщении #1389254 писал(а):

Тут уже когда-то поднималась тема с теоремой Хаага и её горячим обсуждением. По мотивам этой дискуссии у меня возникло несколько вопросов касательно теории возмущений (ТВ) в КТП.

именно что горячее, причем, совершенно безолаберное.

coagulator в сообщении #1389254 писал(а):

Как выяснилось, такие важные моменты как ограниченность спектра гамильтониана снизу, адиабатичность взаимодействия (возможно еще какие-то) опускаются в таких каноничных книгах как Пескин-Шредер.

Пескин и Шредер --- кинга скорее вводная, чем каноническая. Трехтомник Вайнберга --- канонический, но немного идеосинкразический.

coagulator в сообщении #1389254 писал(а):

1. К какой литературе нужно обратиться, чтобы увидеть обсуждение этих моментов? (желательно все таки современной)

Из современных есть Schwartz и Srednicki, еще есть давно забытый Greiner (по типу советского Ландау-Лифшица, но более современный). Кроме того, есть Banks. Его книга мне очень нравится потому, что она через решение задач после каждой главы и прорабатывания задач внутри глав по сути предоставляет возможность самому "открыть" основные важные вещи (решений задач нет, но все же). Вообще, КТП очень сложно учить самому по учебникам, важно иметь рядом преподавателя/коллег, у которых можно уточнить или что-то подробно обсудить, но Banks и Srednicki делают эту задачу выполнимой.

Теперь по сути вопросов.

(1) Неограниченность спектра гамильтониана снизу. Она обсуждается в том или оном виде или упоминается в выше перечисленных книгах, и в дальнейшем молчаливо предполагается. Гамильтониан любой разумной теории с взаимодействием должен содержать наименьшее собственное значение во избежание нестабильностей: если спектр неограничен снизу, то посредством любого малого взаимодействия с окружением система будет скатываться все далее и далее вниз по состояниям. В принципе, такое ограничение на спектр можно ослабить, но тогда нужно требовать, чтобы эффекты связанные с нестабильностью были достаточно медленными по сравнению с рассматриваемыми процессами.

(2) Теперь про адиабатичность. Чтобы избавиться от необходимости введения адиабатичности включения взаимодействия в релятивистской теории рассеяния, а вместе с этим раз и навсегда перестать думать о том, определены ли свободная и взаимодействующая теории на одном гильбертовом пространстве или нет, существует ли дираковское представление или нет, волноваться ли о теореме Хаага или нет, нужно, следуя Швингеру, основным объектом КТП определить $n$-точечную функцию Грина (корреляционную функцию Грина), которая есть в.c. (вакуумное среднее) упорядоченных по времени гейзенберговских операторов поля (вакуум здесь физический, не есть вакуум невзаимодействующей теории). Затем, следуя Lehmann–Symanzik–Zimmermann (LSZ), матричные элементы $S$-матрицы (введеной безо всяких адиабатичных включений, см. ниже) даются (в импульсном представлении и следуя обозначениям Banks, см. главу 2, но используя релятивистски инвариантную нормализацию, чтобы не таскать квадратные корни, и тильду над фурье-преобразованием функции Грина):
$\displaystyle \langle \text{out}~q_1, q_2| S - 1 | \text{in}~p_1,p_2 \rangle = \left( \frac{i}{\sqrt{Z}} \right)^{2+2} \Pi_{i=1}^{2} (p_i^2-m^2) \Pi_{j=1}^{2} (q_i^2-m^2) \tilde{G}^{(4)}(-q_1,-q_2; p_1, p_2)$
где для простоты рассматриваются процессы 2->2.
Пару замечаний. В правой части уравнения стоят физические массы частиц, не коэффициенты в Лагранжиане теории. Правая часть вообще определена непертубативно, т.е. ей наплевать на константы связи. То, что обычно функции Грина в правой части известны приближенно, а не точно, не проблема LSZ --- сама формула точная. Константа $Z$ называется ренормализационной константой поля (по-старому ее называли костантой перенормировки волновой функции). Функции Грина можно получить из производящего функционала, который определяется как амплитуда прехода физ. вакуум-физ. вакуум под действием источника. Wightman показал как из функций Грина можно реконструировать спектр гамильтониана теории и получить волновые функции (см. Banks глава 3), поэтому функции Грина --- центральный объект изучения.

Теперь, в том подходе, где мы применяем адиабатическое включение взаимодействия, можно получить очень похожую на LSZ формулу с тремя отличиями: 1) в левой части сами матричные элементы $S$ введены в предположении нефизического (но приближенно правдоподобного) адиабатического включения; 2) в правой части в.с. --- не есть среднее по физическому вакууму, а по вакууму невзаимодействующей теории; 3) в правой части нет константы $Z$. Как исправить 1), построить in и out состояния, и физчески правильно определить $S$-матрицу без адиабатического включения показано в главе 3.7 Banks). При этом появляется константа $Z$, которую можно перенести в правую часть LSZ, исправляя (3). Чтобы исправить 2), нужно связать состояние физического вакуума и вакуума невзаимодействующей теории. Как это сделать можно почитать у Пескина-Шредера. На этом этапе обычно молчаливо предполагается, что существуют изолированное одночастичное состояние соответствующее стабильной частице массы $m \neq 0$, тогда в пределе $T \to (\infty - i \epsilon^+)$ можно избавится от вклада многочастичных состояний поскольку соответствующие комплексные экспоненты будут подавлены. Такое аналитическое продолжение времени грамотно обосновывается в path integral approach, и об этом немного можно почитать у Banks'a. Корректность же уничтожения вклада многочастичных состояний обосновывается леммой Римана-Лебега.

(Оффтоп)

Келдыша я не упоминаю, потому что его работы относятся к неравновесной термодинамике, а не к КТП.

[coagulator]

Я благодарю за полный и исчерпывающий ответ, за ссылки и уделенное время!