найти функцию по ее ряду

[nika1993]

Доброго времени суток.
Недавно столкнулся с задачей где требовалось найти функцию по ее ряду

$f(x)= 1+ \frac{x^3}{3!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^9}{9!} + ... $
решил делать это так:

$f'(x)= \frac{x^2}{2} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^8}{8!} + ... $
$f''(x)= x + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^7}{7!} + ... $

тогда $f(x)+ f'(x) + f''(x) = e^x$

решив этот диффур и подобрав коэффициенты получил
$ f(x) = \frac{e^x}{3} +\frac{2}{3}e^{-x/2}cos(\frac{\sqrt{3}x}{2}) $

Так вот, вопрос к знатокам, есть ли альтернативные способы найти функцию?(не через диффуры например)

[arseniiv]

В общем случае даже дифуры не помогут. Это ведь не просто «нахождение», это выражение в каком-то особенном виде (например в виде конечной записи из арифметических операций, элементарных функций и целых констант). В общем случае от функции не ждут хорошего вида и ищут не вид, а вообще свойства (типа того же дифура, который однако не обязательно будет потом решать — просто использовать в упрощении выражений с функцией и производными), а уж когда известен ряд, обычно вообще неплохо (а быстро сходящийся на громадном промежутке ряд — шикарно; хотя это уже чисто для вычислительных применений).

В данном же простом случае ещё можно было заметить, что это трисекция ряда экспоненты, а для этого нетрудно вывести явные формулы. Хотя тут надо сначала удостовериться, что функция аналитическая. (В данном случае это снова очевидно — экспонента здесь чуть ли не эталонный пример.)

-- Сб апр 20, 2019 00:10:34 --

(В статье по ссылке даже разбираются разные мультисекции как раз экспоненты.)

[svv]

Попробовал красиво записать найденную nika1993 функцию в комплексной плоскости (сама функция на это усиленно намекала):
$f(z)=\dfrac{e^{\omega^0z}+e^{\omega^1z}+e^{\omega^2z}}3$ , где $\omega=-\frac 1 2+\frac{\sqrt 3}{2}i=e^{i\frac{2\pi}3}$
Но это буквально то же, что даёт формула для мультисекций по ссылке arseniiv.

Всё же это даёт намёк, как ещё можно сконструировать данный ряд.
Предыдущая фраза будет кошмаром для противников буквы ё.