Вычислить несобственный интеграл в зависимости от параметров

[lovgager]

Добрый день.

Задача - вычислить интеграл как функцию от параметров p, q:

$$I(p, q) = \int\limits_{0}^{+\infty}e^{-px^2}\cos qx \; dx,\; \; p > 0$$

Я делал так: формально продифференцировал эту функцию под знаком интеграла по p и по q (это можно делать, т. к. интегралы от производных сходятся равномерно, правда, не на любом множестве, но я решил пока в это не вникать). Тогда получается уравнение в частных производных

$$\frac{\partial I}{\partial p}=\frac{\partial^2I}{\partial q^2}$$

.
Не знаю, что с ним делать дальше, потому что ещё не изучал такие уравнения. Попробовал найти решение в виде многочлена, но мне кажется, есть куча других. Возможно, интеграл решается гораздо проще. Помогите, пожалуйста

[amon]

lovgager в сообщении #1388325 писал(а):

Задача - вычислить интеграл как функцию от параметров p, q:

А интеграл

$$\int\limits_{0}^{\infty}e^{-ax^2+bx}$$

Вы умеете считать?

[Pphantom]

Ну и из двух параметров можно сделать один, воспользовавшись очевидной заменой переменной.

[nnosipov]

Дважды продифференцировать по $q$ под знаком интеграла, потом проинтегрировать по частям, потом решить диффур. Кажется, так этот пример разбирается у Кудрявцева в "Курсе математического анализа" (во 2-м томе, кажется). Без ТФКП можно обойтись.

Upd. Хотя нет, в Кудрявцеве его нет. Померещилось.

[thething]

nnosipov в сообщении #1388332 писал(а):

Дважды продифференцировать по $q$ под знаком интеграла

Дважды -- уже лишнее. Достаточно один раз, после которого экспонента заходит под дифференциал и интегрирование по частям приводит к дифуру.

[nnosipov]

thething в сообщении #1388354 писал(а):

Дважды -- уже лишнее.

Да, пожалуй.

[lovgager]

Всем спасибо! Заменил переменную, так что остался один параметр (в косинусе), затем продифференцировал и после интегрирования по частям получил простой диффур. Константу можно посчитать из условия, что если параметр равен нулю, то получаем интеграл Пуассона, значение которого известно.