Частная производная сложной функции

[Quttar]

Здравствуйте, может вопрос простой, но никак не могу вникнуть) Можно было бы абстрагироваться от самой задачи, и задать вопрос именно по непонятному моменту. Но мне кажется, что в данном случае контекст важен.
Примеры я приводить не буду, все на словах)
Вот смотрите, есть у меня функция зависящая от двух переменных $f(x, y)$ Причем функция не простая, а сложная: переменные x и y зависят в свою очередь от переменных $x=x(u, v); y=y(u,v) $
С первыми частными производными функции $f(x, y)$ по $u$ и $v$ проблем нет
Так вот задание найти частную производную $\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}$
Для этого мы просто берем частную производную по $v$ от частной производной функции $f(x, y)$ по $u$
Производная функции $f(x, y)$ по $u$ должна уже зависить от 4 переменных $g(x(u, v), y(u, v), u, v)$ (Обозначил это функцию буквой $g$). От нее мы берем частную производную по $u$
И теперь подходим к вопросу темы) Как вычислять эту частную производную? Можно ли считать $x, y, v$ константами? Если нет, то как должна выглядеть формула в общем виде?

[arseniiv]

Мм… Попробуем так: когда говорят, что функция зависит от каких-то переменных, на самом деле обычно имеется в виду, что мы назвали аргументы функции удобными именами — иначе придётся говорить «первый», «второй» и т. д. и писать какое-нибудь $\partial_1 f$ вместо $\frac{\partial}{\partial x}f$. Запись с числами может быть удобна при разработке математического софта, но для самой по себе математики, её «аналитических» областей, прижилось название переменными. И его кстати можно понимать как не совсем аккуратную замену уже полностью корректным записям вида $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ — тут мы в каком-то смысле берём производную от выражения, действительно зависящего от переменных (и получаем, если быть точным и дальше, тоже выражение); но выражение — это синтаксический объект, а функция — это уже что-то конкретное. Однако фактически у аргументов функции никаких имён нет (только порядок).

Потому вы, строго говоря, не можете взять производную по $u$ от $f$, поскольку никакой её аргумент так никто не называл, и у неё есть только $x$ и $y$. Вы можете взять её от функции $g$ такой, что $g(u, v) = f(x(u, v), y(u, v))$ и определённой на соответствующем множестве (не будем выписывать его здесь — это наверняка интуитивно понятно), и $\frac{\partial g}{\partial u}$ — это производная по первому аргументу этой $g$, нечто достаточно определённое. Аналогично будет с производной от предыдущей производной, которая будет функцией всё ещё двух аргументов, называемых по смыслу теми же $u$ и $v$.

Но кстати «производную от $f$ по $u$» можно было бы взять и от функции $h(u, v, y) = f(x(u, v), y)$, или от $i(u, v, x) = f(x, y(u, v))$, но так никто делать уже не будет, конечно — в аккуратной записи просто не станут обозначать функции и их значения ($x = x(u, v)$) одной буквой и возможные проблемы чтения отпадут.

Очень надеюсь, что это не запутало, потому что не совсем понятно, как сказать то же с тем же уровнем честности и притом не начиная писать всюду $\partial_1,\partial_2,\partial_3$, анонимные функции и композицию функций многих переменных (хотя вот это уже на мой личный взгляд полезно — но послушаем сначала остальных).

[Someone]

Может быть, стоит попробовать вместо частных производных вычислять полные дифференциалы соответствующих порядков?

[Quttar]

Someone в сообщении #1388164 писал(а):

Может быть, стоит попробовать вместо частных производных вычислять полные дифференциалы соответствующих порядков?

Зачем если в задании требуется другое?

[Munin]

Затем, что от этого можно будет перейти к другому.

[TOTAL]

Quttar в сообщении #1388156 писал(а):

Производная функции $f(x, y)$ по $u$ должна уже зависить от

Запишите производную функции $f(x, y)$ по $u$, все увидим, что и как она должна.

[Dragon27]

Quttar в сообщении #1388156 писал(а):

Для этого мы просто берем частную производную по $v$ от частной производной функции $f(x, y)$ по $u$
Производная функции $f(x, y)$ по $u$ должна уже зависить от 4 переменных $g(x(u, v), y(u, v), u, v)$ (Обозначил это функцию буквой $g$). От нее мы берем частную производную по $u$
И теперь подходим к вопросу темы) Как вычислять эту частную производную? Можно ли считать $x, y, v$ константами? Если нет, то как должна выглядеть формула в общем виде?

Производная функции $f(x, y)$ по $u$ на самом деле не совсем корректная фраза. Имеется в виду, что мы берём производную некой функции от двух переменных $u$ и $v$. Мы можем её условно обозначить той же буквой $f(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))$, но строго говоря это уже другая функция. Полученная производная тоже будет уже функцией от двух переменных $u$ и $v$. Представьте, как мы выписываем какую-нибудь конкретную функцию от $x$ и $y$, подставляем вместо этих переменных подфункции, зависящие от $u$ и $v$ (т.е. вместо $x$ подставляем выражение функции $x(u,v)$, и то же для $y$), и получаем функцию от $u$ и $v$. Берём от полученной функции одну производную, затем другую.
Попробуйте взять от $f(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))$ производную по $u$, пользуясь правилом взятия частной производной от сложной функции, и аккуратно выпишите функцию так, чтобы получилась функция только от $u$ и $v$.

[Munin]

Эта тема может быть сложной. Я помню, как разбирался с ней, вроде становилось ясно, а потом опять уходило в туман, и так много раз.

Первая главная штука: частная производная - это весьма странная и неестественная операция. Не надо считать её чем-то базовым. Новичку кажется наоборот: что может быть проще, взяли формулу и взяли производную, как обычно берём, по какой-то одной букве. Но на самом деле, нет.

Базовой операцией является вычисление полного дифференциала, он же полная производная, или в координатном виде - матрица Якоби:

$$\mathbf{J}=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial f_1}{\partial x}^{\vphantom{1}}_{\vphantom{2}} & \dfrac{\partial f_1}{\partial y} \\ \dfrac{\partial f_2}{\partial x} & \dfrac{\partial f_2}{\partial y}^{\vphantom{1}}_{\vphantom{2}}\end{bmatrix},$$

которая собирает в себе всю информацию об отображении одного пространства на другое пространство (в примере - двумерные). Образно можно представлять себе геометрические картинки:

   

Что такое частная производная, в таком случае? Это мы движемся по исходному пространству в каком-то одном направлении - то есть, по сути, берём производную по направлению. То есть, частная производная складывается из двух вещей:

1. из полной производной;
2. из направления в пространстве аргументов, вдоль которого надо вычислить производную.

С этими идеями в голове, приступим к примеру $f(x,y); x=x(u,v); y=y(u,v).$ Мы можем представить себе пару $(x,y)$ как точку в пространстве $X,$ а пару $(u,v)$ - как точку в пространстве $U.$ Тогда наша функция $g(u,v)$ представляет собой композицию отображений:

$\begin{aligned}&g\colon U\xrightarrow{X(U)}X\xrightarrow{f(X)}f \\ &g(U)=f(X(U))=f(X)\circ X(U)\end{aligned}$

Найти полный дифференциал такой композиции - не проблема. Мы просто берём одну матрицу Якоби, другую матрицу Якоби, и перемножаем их как матрицы. Но когда возникает потребность в частной производной, надо внимательно следить, в каком из пространств мы движемся по линии в каком-то направлении. Правильный ответ такой: если мы пытаемся считать $\dfrac{\partial g}{\partial u},$ то мы движемся по координатной линии в пространстве $U.$ Но это вовсе не значит, что мы будем двигаться по координатной линии в пространстве $X$! Скорее всего нет, и может быть даже, мы будем неподвижны.

И с вот такой картиной в голове (которая мало где ясно изложена в учебниках для начинающих), можно приступать к вопросам и задачам, как ваша.

[arseniiv]

(Оффтоп)

По виду выглядело как проблема, в основном навязанная неудачными обозначениями ($x = x(u, v)$, см. выше) и, вероятно, недостаточным пояснением смысла обозначений.

Munin в сообщении #1388271 писал(а):

он же полная производная

Я думал, так зовут только какую-то неестественную штуку, зависящую не только от функции, но и от каких-то неявно подставляемых в неё вместо аргументов других функций. (Всегда можно говорить об обычной производной композиции.)