Тождественность критериев непрерывности по Коши и по Гейне

[slimxvi]

Обязательно ли в доказательстве тождественности критериев непрерывности функции по Коши и по Гейне в первой части док-ва - предпологать что функция непрерывна, а во второй - доказывать от противного?

[demolishka]

Первая часть вопроса бессмысленна: обязательно ли при характеризации объектов, обладающим некоторым свойством $A$, предполагать, что они обладают свойством $A$?
На вторую часть, т. е. стоит ли

slimxvi в сообщении #1387646 писал(а):

доказывать от противного

попробуйте ответить самостоятельно, попытавшись проделать доказательство напрямую.

[arseniiv]

slimxvi
В принципе любое доказательство от противного можно переписать как доказательство не от противного. Что интересно, нередко оно при этом становится яснее.

[george66]

arseniiv в сообщении #1387663 писал(а):

slimxvi
В принципе любое доказательство от противного можно переписать как доказательство не от противного. Что интересно, нередко оно при этом становится яснее.

Вы загнули. Не любое. Честно говоря, доказательство эквивалентности Коши и Гейне я не помню. Но в одну сторону мы должны предположить, что функция непрерывна по Коши (то есть, в нашем обычном смысле) и доказать, что она непрерывна по Гейне.

[Brukvalub]

Не могу понять смысл вопроса. В изолированных точках области определения функция непрерывна просто о определению. В предельных точках для ее области определения функция непрерывна тогда и только тогда, когда ее предел по области определения в такой точке существует и равен значению функции в этой точке.
А равносильность определения пределов по Коши и по Гейне уже доказана в теме "предел функции".