|
*** ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ КИНЕМАТИКИ. ***
Резюме.
В статье рассмотрена возможность расширения сферы применения кинематических уравнений для решения задач механики. Рассматриваются зависимости времени t(x), скоростей v(x), ускорений a(x) от координат, то есть обратные задачи кинематики, которые редко встречаются в учебниках механики. Показана возможность, на основе дифференциальных определений физических величин, переноса метода составления простейших уравнений движения в другие разделы физики.
Перспективная тема для дипломной работы бакалавра или даже магистра.
********** В большинстве учебников по механике раздел кинематики ограничивается определениями траектории, системы координат, перемещения , скорости v=dx/dt, ускорения a=dv/dt и выводом формул пути для средней, мгновенной скорости, пути для равноускоренного движения X=Xo+v*t+a*t^2/2.
Оказывается: из формул, определяющих скорость v=dx/dt и ускорение a=dv/dt, получается замечательная пропорция
-------- v*dv = a*dx ------- , или -- v(x)*dv(x)=a(x)*dx -- ,
то есть дифференциальное уравнение с разделяемыми переменными. Область ее применения оказывается неожиданно обширной. По аналогии с выводом этого уравнения, можно вывести, подобные ему, дифференциальные уравнения вращательного движения, движения по кругу и других физических процессов, для которых даны определения физической величины Y(x), ее первой y'(x) и второй y''(x) производных. Из определений мгновенных скорости и ускорения получаются следствия: dv/dx = a/v, dt = dx/v(x), x(t) = 1/t(x), применение которых редко встречается в решениях задач по механике.
-- Вывод закона сохранения механической энергии. --
Умножим обе части уравнения на постоянную величину m, то есть массу, и проинтегрируем уравнение. Получим m*v^2/2 = m*a*x. Выразив уравнение в определенных интегралах, получим полную формулу закона сохранения энергии. Кстати, получили в левой части формулу кинетической энергии, в правой - потенциальной. Для вращательного движения, аналогично - из определений угловой скорости w=df/dt и углового ускорения e=dw/dt получаем пропорцию, умножим ее на постоянные массу, радиус в квадрате и проинтегрировав, получаем формулу закона сохранения m*(w*R)^2/2 = m*e*R^2*f. Коротко и убедительно, по сравнению с доказательством через множество трехэтажных формул в теореме Нетер. Кстати, через определяющие формулы угловой скорости dv/dr=w=v/r можно вывести очень простое доказательство закона сохранения момента импульса m*( r*dv+v*dr)=0 или m*v*r=Const.
***Алгоритмы решения задач на основе уравнения.***
* Если известна зависимость ускорения от координат a(x), то уравнение примет вид v^2(x)=2*Integr(a(x)*dx). Например:
a(x)= K*x ---> v^2(x)= 2*K*Integr(x*dx)
a(x)= G/x^2 ---> v^2(x)= 2*G*Integr(dx/x^2)
1. Находим скорость v(x)=(2*Integr(a(x)*dx))^0,5
2. Находим время t(x)=Integr(dx/v(x))
3. Находим формулу пути, как обратную функцию x(t)=1/t(x).
* Если известна зависимость ускорения от скорости a(v), то она переносится в левую часть уравнения. Например:
a(v)=g-k*v ---> dv/(g-kv)= dx
a(v)=g-k*v^2 ---> dv/(g-kv^2)= dx
1. Интегрируем уравнение с разделенными переменными
2. Находим зависимость x(v), обратную функцию v(x)=1/x(v)
3. Находим зависимости t(x)=Integr(dx/v(x))
4. Находим формулу пути, как обратную функцию x(t)=1/t(x).
* Усли известна зависимость v(x), то, интегрируя, находим t(x)=Integr(dx/v(x)).
* Если известна зависимость v(t), находим из нее первообразную - X(t) и производную - a(t).
* Заметим - мы не прибегаем здесь к теории дифференциальных уравнений, где даются, в виде решений, готовые функции для каждого вида уравнения, а сами, прямым интегрированием, находим эти функции.
* Заметим - это замечательное уравнение является шаблоном для подстановки в него известных функций при решении конкретных задач. При этом нужно решать полученные уравнения в определенных интегралах, чтобы учесть заданные начальные условия. Иначе можно получить не верную формулу или формулу, где значение физической величины не имеет предела. В теоретической механике существуют похожие шаблоны в виде уравнений Лагранжа, уравнений Гамильтона и т.д.
****Примеры решения задач.****
* Найти время падения тела от состояния покоя, на расстоянии 6371 км от поверхности Земли, до ее поверхности. Дана зависимость а(х)=g/x^2, где x=(h+R)/R, g=10м/с^2, R=6371км. сопротивление атмосферы не учитывать.
Решение:
находим v^2(x)= 2*Integr(g*dx/x^2)=(2*g*R*(1/x-1/Xo))^0,5,
находим t(x)=Int(dx/v(x))=
(R/2g)^0,5*Xo^3/2*(pi/2-arcsin((x/Xo)^0,5)+(x/Xo)*(Xo/x-1)*0,5)
Ответ: время падения t=2072c.
Заметим: в учебниках чаще приводится вывод времени через эллиптическую формулу, исходя из законов Кеплера.
* Найти период колебаний пружинного маятника, если известна зависимость a(x)=k*x/m.
Решение:
находим v^2(x)=2*Integr(k/m)*x*dx=(k/m)*(Xo^2-x^2)
находим T=4* t(x)=4*Integr(dx/v(x))=2*Pi*(m/k)
Заметим: в учебниках чаще приводится вывод периода, исходя из готовой функции x= A*sin(w*t), определяющей гармонические колебания.
**Вывод закона сохранения механической энергии из формулы силы** / 2 закона Ньютона/:
m*a=F :исходная формула
m*dv=F*dt :в дифф.форме
m*v*dv=m*a*v*dt :умножили на v
m*v*dv=m*a*dx :освободились от dt
m*v^2/2=m*a*x : вывели неопределенный интеграл - формулу ЗСЭ.
**Взяв определенные интегралы, докажем теорему о изменении Ек.
***А теперь докажем, что формула m*v^2/2 справедлива для любой конкретной зависимости ускорения от координаты /а(х)/:
v(x)=(2*I(a(x)*dx))^0,5 :скорость из формулы ЗСЭ
dv(x)=a(x)*dx/(2*I(a(x)*dx))^0,5 : дифф-л скорости
v(x)*dv(x)=a(x)*dx :их произведение - ЗСЭ в дифф.форме.
Заключение.
Статья написана в кратком стиле, в предположении, что читателю знакомы условные обозначения использованных в формулах физических величин. Длина обозначена символом "х" для удобства восприятия ее как независимой переменной. Возможны некоторые ошибки, пусть читатель-рецензор их исправит, если статья покажется ему полезной.
Ю. Архипов.
|
и свести к интегралу, который получился у вас.