В евклидовой метрике поворот сохраняет расстоян., а в L1-нет

[Brukvalub]

Профессор Снэйп в сообщении #138573 писал(а):

Берём 4 точки, лежащие в одной плоскости: три вершины равностороннего треугольника и его центр. И что, где-то в $\mathbb{R}^3$ есть точка, равноудалённая от этих четырёх?

Разве Вам, Профессор Снэйп неведомо, что в таких рассмотрениях всегда предполагается, что точки находятся в общем положении?

[Henrylee]

Профессор Снэйп писал(а):

Henrylee писал(а):

В $\mathbb{R}^3$ берём 4 точки.

Берём 4 точки, лежащие в одной плоскости

имел в виду, не лежащие в одной плоскости

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

Разве Вам, Профессор Снэйп неведомо, что в таких рассмотрениях всегда предполагается, что точки находятся в общем положении?

Нет, сие нам неведомо.

Henrylee писал(а):

имел в виду, не лежащие в одной плоскости

Хорошо, а что тогда здесь имелось в виду под произвольной последовательностью?

Henrylee писал(а):

А вот если взять в сепарабельном гильбертовом пространстве произвольную последовательность элементов...

[Henrylee]

Профессор Снэйп писал(а):

Хорошо, а что тогда здесь имелось в виду под произвольной последовательностью?

Henrylee писал(а):

А вот если взять в сепарабельном гильбертовом пространстве произвольную последовательность элементов...

А фиг его знает, я просто так это начал. Ну тогда, вообще говоря, линейно независимая. А вообще-то нет, чего-то не то. Кажется, линейнонезависимы должны быть разности $\{h_i-h_1\},~i=2,3,\dots$

[bubu gaga]

Тема меня не отпускает. Если Гильбертово пространство это обобщение Евклидова (так стоит в википедии), как далеко можно распространять геометрическую интуицию на такое пространство?

Вот пример. В евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна $\pi / 2$. Я взял три функции $y = 1$, $y = x$, $y = x^2$ и на интервале $[0, 1]$ вычислил углы. Сумма углов получилась больше $\pi / 2$.

Потом я взял вопрос ещё абстрактнее. Определим сферу, как множество точек равноудалённых от заданной. Взяв точку на этой сфере, противостоит ли ей через диаметр ровно одна точка? Я взял $y = 1$ в центре сферы, $y = x$ с одного краю и ищу $f(x)$ такую, 1) что она лежит от $y = 1$ на том же расстоянии, что и $y = x$, то есть $ \| f(x) - 1 \| \, = \, \| 1 - x \| $ и 2) что угол между радиусами равнен нулю $ \bigl( 1 - x, f(x) - 1\bigr) = \| 1 - x \| \, \| f(x) - 1 \| $. Получил не одну $f(x)$, а множество, с единственным ограничением по норме.

Собственно вопрос: в каком смысле Гильбертово пространство является обощением для Евклидова? Спасибо!

[Профессор Снэйп]

bubu gaga писал(а):

Тема меня не отпускает.

Угу. Судя по всему, неплохо колбасит.

bubu gaga писал(а):

В евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна $\pi / 2$.

Это неверно. Сумма равна не $\pi/2$, а $\pi$.

bubu gaga писал(а):

Я взял три функции $y = 1$, $y = x$, $y = x^2$ и на интервале $[0, 1]$ вычислил углы. Сумма углов получилась больше $\pi / 2$.

Ну что вам сказать? Ошиблись Вы где-то при вычислении углов. Геометрия в любом гильбертовом пространстве, как Вы выражаетесь, "евклидова". В частности, сумма углов любого треугольника всегда равна $\pi$.

Дальше не стал вникать, поскольку этих глупостей уже хватило.

Добавлено спустя 3 минуты 21 секунду:

P. S. Таки не выдержал и прочитал до конца. В связи с чем имею честь сообщить, что в произвольном гильбертовом пространстве точка, "противоположная" любой точке сферы, всегда единственна.

В-общем, разбирайтесь

[Henrylee]

Профессор, не горячитесь ну что Вам стоит.

bubu gaga писал(а):

Я взял $y = 1$ в центре сферы, $y = x$ с одного краю и ищу $f(x)$ такую, 1) что она лежит от $y = 1$ на том же расстоянии, что и $y = x$, то есть $ \| f(x) - 1 \| \, = \, \| 1 - x \| $ и 2) что угол между радиусами равнен нулю $ \bigl( 1 - x, f(x) - 1\bigr) = \| 1 - x \| \, \| f(x) - 1 \| $. Получил не одну $f(x)$, а множество, с единственным ограничением по норме.

А ну-ка теперь из совокупности данных давайте делать верные выводы.
Из Ваших равенств следует

$$ (1-x,f(x)-1)=(1-x,1-x)=(f(x)-1,f(x)-1) $$

отсюда

$$ (1-x,f(x)+x-2)=(2-x-f(x),f(x)-1)=0 $$

Дальше догадаетесь?

[bubu gaga]

Профессор Снэйп писал(а):

P. S. Таки не выдержал и прочитал до конца. В связи с чем имею честь сообщить, что в произвольном гильбертовом пространстве точка, "противоположная" любой точке сферы, всегда единственна.

В-общем, разбирайтесь

У Вас конечно очень своеобразная манера общаться, но я всё равно признателен за помощь.

Ошибку с углами нашёл.

[Профессор Снэйп]

bubu gaga писал(а):

Ошибку с углами нашёл.

Угу. А теперь, когда все вычисления проделаны правильно, осознайте следующее:

1) Для конечного $n$ все $n$-мерные евклидовы пространства изоморфны (пространству $\mathbb{R}^n$ со стандартной евклидовой метрикой).

2) Всякое конечномерное подпространство произвольного гильбертова пространства является евклидовым.

Отсюда мораль: если Вы берёте произвольное свойство пространства, касающееся каких-то $n+1$ произвольных точек (и не содержащее кванторов), то оно выполняется в произвольном гильбертовом пространстве тогда и только тогда, когда оно выполняется в $\mathbb{R}^n$. В частности, сумма углов треугольника в произвольном гильбертовом пространстве равна $\pi$, потому что это выполнено на плоскости. Ну и так далее Никакие вычисления для подтверждения этого факта не нужны

[bubu gaga]

Henrylee писал(а):

Дальше догадаетесь?

Кажется понял. Если оба радиуса совпадают и по направлению и по длинне, то их разность равна нулю. Второе Ваше равенство об этом и говорит. Скалярное произведение двух совпадающих по направлению векторов равно нулю если длинна хотя бы одного из них равна нулю. Вектор $1 - x$ не нулевой, следовательно $\| f(x) - (2 - x) \| = 0 $, а норма равна нулю, когда точки совпадают (в данном случае почти всюду). Соответственно получаем единственное решение $f(x) = 2 - x$.

[Henrylee]

"Ниасилил, слишком многа букф". Будьте проще, вот это

bubu gaga писал(а):

$\| f(x) - (2 - x) \| = 0 $

сразу следует из этого

$$ (1-x,f(x)+x-2)=(2-x-f(x),f(x)-1)=0 $$

Вобщем, кроме арифметики и линейности скалярного произведения ничего и не нужно.
И заметьте, это все выводится из Ваших же первых двух равенств (с нормами). Поэтому ни о каких направлениях векторов речи уже нет. только голые равенства. ну а можно было и сразу приравнять $1-x=f(x)-1$ как вектора и не париться с этими нормами и скалярными произведениями. Тут уже заданы и сонаправленность, и равенство норм.

[bubu gaga]

Henrylee писал(а):

Будьте проще

Надеюсь с опытом придёт. Спасибо!

[Профессор Снэйп]

Henrylee писал(а):

"Ниасилил, слишком многа букф".

Вроде бы правильно писать "ниасилил, слишкам многа букафф"

[Алексей К.]

Учил уже здесь, на форуме, и кроме как многабукав не встречал (многократно; память подозревает ADа).
Всем спасибо, мне тоже было интересно (разумеется, это не значит, что я типа закрываю тему).

[Профессор Снэйп]

Алексей К. писал(а):

...кроме как многабукав не встречал...

Да, слитное написание, пожалуй, правильнее. А вот на конце должна быть точно буква "ф", а не "в". Удвоенная или нет --- тоже вопрос.