2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 
Сообщение14.08.2008, 11:25 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп в сообщении #138573 писал(а):
Берём 4 точки, лежащие в одной плоскости: три вершины равностороннего треугольника и его центр. И что, где-то в $\mathbb{R}^3$ есть точка, равноудалённая от этих четырёх?
Разве Вам, Профессор Снэйп неведомо, что в таких рассмотрениях всегда предполагается, что точки находятся в общем положении?

 
 
 
 Re: Евклидова метрика
Сообщение14.08.2008, 11:28 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп писал(а):
Henrylee писал(а):
В $\mathbb{R}^3$ берём 4 точки.


Берём 4 точки, лежащие в одной плоскости

имел в виду, не лежащие в одной плоскости

 
 
 
 Re: Евклидова метрика
Сообщение14.08.2008, 13:07 
Аватара пользователя
Brukvalub писал(а):
Разве Вам, Профессор Снэйп неведомо, что в таких рассмотрениях всегда предполагается, что точки находятся в общем положении?


Нет, сие нам неведомо.

Henrylee писал(а):
имел в виду, не лежащие в одной плоскости


Хорошо, а что тогда здесь имелось в виду под произвольной последовательностью?

Henrylee писал(а):
А вот если взять в сепарабельном гильбертовом пространстве произвольную последовательность элементов...

 
 
 
 Re: Евклидова метрика
Сообщение14.08.2008, 13:16 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп писал(а):

Хорошо, а что тогда здесь имелось в виду под произвольной последовательностью?

Henrylee писал(а):
А вот если взять в сепарабельном гильбертовом пространстве произвольную последовательность элементов...


А фиг его знает, я просто так это начал. Ну тогда, вообще говоря, линейно независимая. А вообще-то нет, чего-то не то. Кажется, линейнонезависимы должны быть разности $\{h_i-h_1\},~i=2,3,\dots$

 
 
 
 
Сообщение14.08.2008, 13:16 
Аватара пользователя
Тема меня не отпускает. Если Гильбертово пространство это обобщение Евклидова (так стоит в википедии), как далеко можно распространять геометрическую интуицию на такое пространство?

Вот пример. В евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна $\pi / 2$. Я взял три функции $y = 1$, $y = x$, $y = x^2$ и на интервале $[0, 1]$ вычислил углы. Сумма углов получилась больше $\pi / 2$.

Потом я взял вопрос ещё абстрактнее. Определим сферу, как множество точек равноудалённых от заданной. Взяв точку на этой сфере, противостоит ли ей через диаметр ровно одна точка? Я взял $y = 1$ в центре сферы, $y = x$ с одного краю и ищу $f(x)$ такую, 1) что она лежит от $y = 1$ на том же расстоянии, что и $y = x$, то есть $ \| f(x) - 1 \| \, = \, \| 1 - x \| $ и 2) что угол между радиусами равнен нулю $ \bigl( 1 - x, f(x) - 1\bigr) = \| 1 - x \| \, \| f(x) - 1 \| $. Получил не одну $f(x)$, а множество, с единственным ограничением по норме.

Собственно вопрос: в каком смысле Гильбертово пространство является обощением для Евклидова? Спасибо!

 
 
 
 
Сообщение14.08.2008, 13:57 
Аватара пользователя
bubu gaga писал(а):
Тема меня не отпускает.


Угу. Судя по всему, неплохо колбасит.

bubu gaga писал(а):
В евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна $\pi / 2$.


Это неверно. Сумма равна не $\pi/2$, а $\pi$.

bubu gaga писал(а):
Я взял три функции $y = 1$, $y = x$, $y = x^2$ и на интервале $[0, 1]$ вычислил углы. Сумма углов получилась больше $\pi / 2$.


Ну что вам сказать? Ошиблись Вы где-то при вычислении углов. Геометрия в любом гильбертовом пространстве, как Вы выражаетесь, "евклидова". В частности, сумма углов любого треугольника всегда равна $\pi$.

Дальше не стал вникать, поскольку этих глупостей уже хватило.

Добавлено спустя 3 минуты 21 секунду:

P. S. Таки не выдержал и прочитал до конца. В связи с чем имею честь сообщить, что в произвольном гильбертовом пространстве точка, "противоположная" любой точке сферы, всегда единственна.

В-общем, разбирайтесь :D

 
 
 
 
Сообщение14.08.2008, 14:28 
Аватара пользователя
Профессор, не горячитесь :) ну что Вам стоит.

bubu gaga писал(а):
Я взял $y = 1$ в центре сферы, $y = x$ с одного краю и ищу $f(x)$ такую, 1) что она лежит от $y = 1$ на том же расстоянии, что и $y = x$, то есть $ \| f(x) - 1 \| \, = \, \| 1 - x \| $ и 2) что угол между радиусами равнен нулю $ \bigl( 1 - x, f(x) - 1\bigr) = \| 1 - x \| \, \| f(x) - 1 \| $. Получил не одну $f(x)$, а множество, с единственным ограничением по норме.

А ну-ка теперь из совокупности данных давайте делать верные выводы.
Из Ваших равенств следует
$$
(1-x,f(x)-1)=(1-x,1-x)=(f(x)-1,f(x)-1)
$$
отсюда
$$
(1-x,f(x)+x-2)=(2-x-f(x),f(x)-1)=0
$$
Дальше догадаетесь?

 
 
 
 
Сообщение14.08.2008, 14:32 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп писал(а):
P. S. Таки не выдержал и прочитал до конца. В связи с чем имею честь сообщить, что в произвольном гильбертовом пространстве точка, "противоположная" любой точке сферы, всегда единственна.

В-общем, разбирайтесь :D


У Вас конечно очень своеобразная манера общаться, но я всё равно признателен за помощь.

Ошибку с углами нашёл.

 
 
 
 
Сообщение14.08.2008, 14:55 
Аватара пользователя
bubu gaga писал(а):
Ошибку с углами нашёл.


Угу. А теперь, когда все вычисления проделаны правильно, осознайте следующее:

1) Для конечного $n$ все $n$-мерные евклидовы пространства изоморфны (пространству $\mathbb{R}^n$ со стандартной евклидовой метрикой).

2) Всякое конечномерное подпространство произвольного гильбертова пространства является евклидовым.

Отсюда мораль: если Вы берёте произвольное свойство пространства, касающееся каких-то $n+1$ произвольных точек (и не содержащее кванторов), то оно выполняется в произвольном гильбертовом пространстве тогда и только тогда, когда оно выполняется в $\mathbb{R}^n$. В частности, сумма углов треугольника в произвольном гильбертовом пространстве равна $\pi$, потому что это выполнено на плоскости. Ну и так далее :) Никакие вычисления для подтверждения этого факта не нужны :D

 
 
 
 
Сообщение14.08.2008, 15:20 
Аватара пользователя
Henrylee писал(а):
Дальше догадаетесь?


Кажется понял. Если оба радиуса совпадают и по направлению и по длинне, то их разность равна нулю. Второе Ваше равенство об этом и говорит. Скалярное произведение двух совпадающих по направлению векторов равно нулю если длинна хотя бы одного из них равна нулю. Вектор $1 - x$ не нулевой, следовательно $\| f(x) - (2 - x) \| = 0 $, а норма равна нулю, когда точки совпадают (в данном случае почти всюду). Соответственно получаем единственное решение $f(x) = 2 - x$.

 
 
 
 
Сообщение14.08.2008, 17:04 
Аватара пользователя
"Ниасилил, слишком многа букф". Будьте проще, вот это
bubu gaga писал(а):
$\| f(x) - (2 - x) \| = 0 $

сразу следует из этого
$$
(1-x,f(x)+x-2)=(2-x-f(x),f(x)-1)=0
$$
Вобщем, кроме арифметики и линейности скалярного произведения ничего и не нужно.
И заметьте, это все выводится из Ваших же первых двух равенств (с нормами). Поэтому ни о каких направлениях векторов речи уже нет. только голые равенства. ну а можно было и сразу приравнять $1-x=f(x)-1$ как вектора и не париться с этими нормами и скалярными произведениями. Тут уже заданы и сонаправленность, и равенство норм.

 
 
 
 
Сообщение14.08.2008, 17:20 
Аватара пользователя
Henrylee писал(а):
Будьте проще


Надеюсь с опытом придёт. Спасибо!

 
 
 
 
Сообщение14.08.2008, 21:29 
Аватара пользователя
Henrylee писал(а):
"Ниасилил, слишком многа букф".


Вроде бы правильно писать "ниасилил, слишкам многа букафф" :)

 
 
 
 
Сообщение14.08.2008, 21:56 
Учил уже здесь, на форуме, и кроме как многабукав не встречал (многократно; память подозревает ADа).
Всем спасибо, мне тоже было интересно (разумеется, это не значит, что я типа закрываю тему).

 
 
 
 
Сообщение15.08.2008, 04:43 
Аватара пользователя
Алексей К. писал(а):
...кроме как многабукав не встречал...


Да, слитное написание, пожалуй, правильнее. А вот на конце должна быть точно буква "ф", а не "в". Удвоенная или нет --- тоже вопрос.

 
 
 [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group