Поворотная гомотетия

[Dashblin]

Дана окружность $S_1$ и точка $O$, не лежащая на данной окружности. Поворотная гомотетия с центром в точке $O$ (далее $Fo$) переводит окружность $S_1$ в окружность $S_2$. На окружности $S_1$ взята точка $A_1$. $Fo$ переводит $A_1$ в $A_2$ (которая соответственно лежит на $S_2$). Точки $A_1$ и $A_2$ начинают двигаться по окружности (проходя один и тот же угол за одно и то же время). Доказать, что:
а) прямая $A_1A_2$ огибает гиперболу;
б) если провести касательные к точкам $A_1$ и $A_2$, а точку их пересечения обозначить буквой $M$, то буква $M$ будет идти по улитке Паскаля.

Очень нужна помощь хотя бы с идеей! Единственное, что приходит в голову - методом координат вытаскивать уравнения, но как то в голове не складывается, как соотносить уравнения(например, доказывать что $A_1A_2$ будет касательной для гиперболы всегда)

[slavav]

Если $O$ совпадает с центром $S_1$, то $S_2$ имеет тот же центр. Тогда прямая $A_1A_2$ огибает круг. Что я делаю не так?

[Munin]

slavav в сообщении #1385901 писал(а):

Что я делаю не так?

Это красивый вопрос.

Перейдём в трёхмерное пространство. Тогда можно сделать так, чтобы две исходные окружности были в разных параллельных плоскостях. $A_1 A_2$ будет заметать однополостной гиперболоид (линейчатую поверхность, как секция башни Шухова). Немного перекошенно-сплющенный, но это не важно. Какую линию будет огибать проекция $A_1 A_2$ на исходную плоскость? Это зависит от проекции гиперболоида на плоскость, от того, как он повёрнут в пространстве. Действительно, получаются два общих случая: гипербола и эллипс. А вот где проходит граница между ними - кажется, вычисляется непросто, через положение центра гомотетии, угол поворота гомотетии и её коэффициент. Если центр далеко снаружи исходной окружности, а коэффициент и угол невелики, то будет гипербола.

[svv]

Dashblin

Паре декартовых координат $(x,y)$ точки на плоскости сопоставим комплексную координату $z=x+iy$. Уравнения окружностей:
$a_1(\varphi)=c_1+r_1e^{i\varphi}$
$a_2(\varphi)=c_2+r_2e^{i\varphi}$
Тут $c_1,c_2$ — центры окружностей. У комплексных чисел $r_1,r_2$ модуль равен радиусу соответствующей окружности, аргумент отвечает за "начальную фазу" точки на окружности.
Считаем, что $r_1\neq 0, r_2\neq 0$.

1) "Гомотетичность" не играет в задаче почти никакой роли. Можно взять произвольные $c_1,c_2,r_1,r_2$ и для них указать центр $c$ и коэффициент поворотной гомотетии $k$ (найдите их!), такие, что
$a_2(\varphi)-c=k(a_1(\varphi)-c)$
Это невозможно лишь при $r_1=r_2$, когда совпадают и радиусы, и фазы. Исключаем этот случай и забываем про гомотетию.

2) Прямая, соединяющая $a_1$ и $a_2$, имеет направление "вектора"
$a_2-a_1=c_2-c_1+(r_2-r_1)e^{i\varphi}$
Если $|c_2-c_1|=|r_2-r_1|$, то при некотором $\varphi$ точки совпадают и соединяющая их прямая неединственна. Исключаем.
Если $|c_2-c_1|<|r_2-r_1|$, то соединяющая точки прямая может иметь любое направление (замечание slavav). Исключаем.
Значит, единственный случай, когда можно надеяться на гиперболу — это $|c_2-c_1|>|r_2-r_1|$.
Случай, когда точки бегают точно в фазе или в противофазе ($\arg r_2-\arg r_1=\pi n$), тоже исключаем (почему?)

3) Покажите, что если радиусы различны, то окружность с меньшим радиусом можно заменить третьей окружностью с некоторым центром, имеющей радиус, как у большей окружности, так, что прямые будут получаться те же. Теперь у нас две окружности равного радиуса. Расположим их красиво, симметрично относительно начала координат, друг под другом.

4) После этих замечаний задачу можно решить совсем без формул (Munin). Попробуйте сами.

[Munin]

svv в сообщении #1385938 писал(а):

Если $|c_2-c_1|=|r_2-r_1|$, то при некотором $\varphi$ точки совпадают и соединяющая их прямая неединственна. Исключаем.
Если $|c_2-c_1|<|r_2-r_1|$, то соединяющая точки прямая может иметь любое направление (замечание slavav). Исключаем.

Эти два условия вместе взятых означают, что одна окружность лежит внутри другой, или касается её изнутри. Можно это исключить, но мне кажется, это красивый второй случай.

Я не был уверен, что условие формулируется в итоге так просто. Накрутил сложностей. svv всё упростил.

svv в сообщении #1385938 писал(а):

Случай, когда точки бегают точно в фазе или в противофазе ($\arg r_2-\arg r_1=\pi n$), тоже исключаем (почему?)

Ну что ж так, "исключаем, исключаем". Это тоже будут гиперболы, в некотором смысле :-)

----------------

Я бы над пунктом "б" подумал, но я не знаю, что такое улитка Паскаля. Явно только вижу, что здесь svv пункт 3 не проходит.

[svv]

Munin в сообщении #1385947 писал(а):

Эти два условия вместе взятых означают, что одна окружность лежит внутри другой, или касается её изнутри.

При $|c_2-c_1|<|r_2-r_1|$ возможна ещё такая картина. Возьмём две окружности, скажем, одинакового радиуса, пересекающиеся, как свадебные кольца. И пусть точки бегают почти в противофазе. Точки временами как бы заходят друг за друга, и соединяющая их прямая крутится на все 360°.

И при тех же окружностях, если взять, наоборот, почти синфазное движение, получим $|c_2-c_1|>|r_2-r_1|$ и хорошую гиперболу. Константы $c_1,c_2,r_1,r_2$ все комплексные, и их аргументы влияют на модуль разностей.

[Munin]

svv в сообщении #1385954 писал(а):

При $|c_2-c_1|<|r_2-r_1|$ возможна ещё такая картина. Возьмём две окружности, скажем, одинакового радиуса, пересекающиеся, как свадебные кольца.

Тут что-то не так. $|r_2-r_1|=0,$ так что "свадебные кольца" не подходят под неравенство.

[svv]

$r_1$ и $r_2$ — комплексные числа (см. моё первое сообщение), модуль равен радиусу, аргумент отвечает за "начальную фазу".
Извиняюсь за сбивающее с толку обозначение.
Комплексное всё, кроме $\varphi$.

Вот так повторишь меньше четырёх раз — и всё, читатель не заметил.

[Munin]

А! :-)