Найти координаты одной системы координат в другой по прямой

[eugensk]

Евгеша

Забыли про отражение, решение должно удовлетворять или вашей или такой системе:

$$\begin{cases}x_1'=x_0+x_1\cos{\varphi}+y_1\sin{\varphi}\\y_1'=y_0+x_1\sin{\varphi}-y_1\cos{\varphi}\\ x_2'=x_0+x_2\cos{\varphi}+y_2\sin{\varphi}\\y_2'=y_0+x_2\sin{\varphi}-y_2\cos{\varphi}\\ x_3'=x_0+x_3\cos{\varphi}+y_3\sin{\varphi}\\y_3'=y_0+x_3\sin{\varphi}-y_3\cos{\varphi}\end{cases}$$

И это нестрашно, что уравнений больше. Если система вдруг окажется несовместна, значит что-то не так с координатами: расстояние между любыми двумя точками в старых и новых координатах должно оставаться одинаковым.

[Евгеша]

Здравствуйте. Создавал уже похожую тему, но для случая плоскости.
Задача такая: есть две декартовых системы координат в трехмерном пространстве. Надо определить их взаимное расположение, т. е. смещение $(x_0, y_0, z_0)$ и углы поворота $(\alpha, \beta, \gamma)$ одной относительно другой. Известны уравнения некоторой поверхности в обоих системах. Отсюда сразу вопрос: какая минимальная поверхность давала бы однозначный результат? Одной плоскости, как я понимаю будет недостаточно, а что если известны еще две параллельные прямые, лежащие на этой плоскости (или две параллельных плоскости, перпендикулярных данной)? Расстояние между прямыми(плоскостями) известно. Достаточно ли будет этих трех уравнений? Или может три плоскости будут излишни, и достаточно, например, двух параллельных (или ортогональных)?

GAA:

Не нужно создавать несколько веток на одну тему.

Евгеша в сообщении #1384582 писал(а):

P.S. Интересен как случай плоскости, так и пространства.

Старайтесь максимально четко (и максимально узко) формулировать тему в начальном сообщении. Ветки соединены.

[arseniiv]

Зря отдельную, этот вопрос отлично параметризуется на любую размерность. Как в плоскости нам было достаточно знать координаты трёх пронумерованных точек, так в трёхмерии — четырёх. То есть если фигура позволяет выделить на ней однозначно упорядоченную четвёрку точек, она годится.

Это точно не практический вопрос? Потому что тогда нет смысла минимизировать: в игру входит точность, и её может недоставать при простых конструкциях.

-- Ср апр 03, 2019 20:39:57 --

А, ну если масштабы по осям одинаковые (чего это я забыл), то можно, конечно, и не так, ну опять же аналогия с плоским случаем должна быть прозрачной.

[Евгеша]

arseniiv в сообщении #1385793 писал(а):

Зря отдельную, этот вопрос отлично параметризуется на любую размерность. Как в плоскости нам было достаточно знать координаты трёх пронумерованных точек, так в трёхмерии — четырёх. То есть если фигура позволяет выделить на ней однозначно упорядоченную четвёрку точек, она годится.

Это точно не практический вопрос? Потому что тогда нет смысла минимизировать: в игру входит точность, и её может недоставать при простых конструкциях.

-- Ср апр 03, 2019 20:39:57 --

А, ну если масштабы по осям одинаковые (чего это я забыл), то можно, конечно, и не так, ну опять же аналогия с плоским случаем должна быть прозрачной.

Задача имеет практический интерес. Допустим, у нас есть два сканера (две декартовых системы координат) и какой-то геометрический объект (например, поверхность). Мы можем просканировать этот объект и получить координаты его точек в двух СК. Но мы же не знаем каким точкам в одной СК соответствуют какие точки в другой. В случае плоскости было проще: если известно несколько пересекающиеся прямых в двух СК, то можно было найти их точки пересечения в обоих СК и от них отталкиваться. Но если обобщить на случай пространства, то у нас прямые переходят в плоскости, а пересечения плоскостей - в прямые, а не конкретные точки. В этом сложность.

[Pavia]

Евгеша
Ставьте в место сканера камеры. У них линзы они дадут нелинейность на гладкой поверхности. Такой же эффект как если бы у вас были сканеры и выпуклая поверхность.

Подробнее это описано в:
"Multiple View Geometry in Computer Vision" by Hartley, R. I. and Zisserman, A.,

Только судя по уровню вопросам вам даже Хабр не поможет.
https://habr.com/ru/post/130300/
А следует читать основы аналитической геометрии
К примеру:
Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1986

[arseniiv]

Евгеша в сообщении #1385888 писал(а):

Но если обобщить на случай пространства, то у нас прямые переходят в плоскости, а пересечения плоскостей - в прямые, а не конкретные точки.

Ну, если сначала не до конца обобщить — да, так будет.

Я бы предложил, раз практика, аналогично той своей прямой с пронумерованными точками сделать плоскость с пронумерованной сеткой точек. Опять же, нумеровать все не обязательно — лишь столько, чтобы можно было восстановить координаты всех остальных точек по тем, что попали в один сканер. И если ориентации сканеров одинаковые, всё хорошо, а если не обязательно, плоскость опять снабжаем каким-то способом различить одно полупространство от другого. И опять же вбирать координаты как можно большего числа точек, чтобы уменьшить ошибку.

-- Чт апр 04, 2019 15:06:29 --

Pavia в сообщении #1385916 писал(а):

они дадут нелинейность на гладкой поверхности.

И чему это должно служить?

[Pavia]

arseniiv в сообщении #1385918 писал(а):

И чему это должно служить?

Да хотя бы по резкости восстановить дальность до камеры читай до системы отсчёта(СО). Но есть и другие варианты, не описанные в Multiple View..., с наложенными ограничениям, если честно я их не помню, так как их мельком изучал.

[Jnrty]

Pavia, здесь обсуждается математическая задача, а не технические проблемы сканирования. Сканеры упоминаются исключительно для "наглядности" и для постановки или решения задачи не нужны.
Прошу прекратить offtopic.

[Евгеша]

arseniiv в сообщении #1385918 писал(а):

Я бы предложил, раз практика, аналогично той своей прямой с пронумерованными точками сделать плоскость с пронумерованной сеткой точек. Опять же, нумеровать все не обязательно — лишь столько, чтобы можно было восстановить координаты всех остальных точек по тем, что попали в один сканер. И если ориентации сканеров одинаковые, всё хорошо, а если не обязательно, плоскость опять снабжаем каким-то способом различить одно полупространство от другого. И опять же вбирать координаты как можно большего числа точек, чтобы уменьшить ошибку.

Не очень понимаю вашу идею. Нам же нужно 4 точки, не лежащие в одной плоскости?

[arseniiv]

Как в плоском случае достаточно было двух, если ориентация известна заранее, так и в этом случае будет достаточно трёх, но ведь это для случая, когда оба сканера видят какую-то область вместе. Когда не видят, надо будет иметь по набору точек в области видимости каждого и знать их расположение относительно друг друга, плюс, как я уже писал, вопрос точности: если ограничиться минимумом, будет самая большая ошибка. Проще всего сделать эти две вещи, регулярно расположив много точек и подписав их. Остальное — это серьёзно уже банальные детали реализации, там особо думать не надо. Ну или вы можете сделать вопрос конкретнее, если в вашем случае с этим будут какие-то проблемы, которых не видно в абстрактной постановке.