2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Математический софизм о гармоническом ряде
Сообщение02.04.2019, 14:23 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #1385480 писал(а):
Только до логарифмов, слава богу, доводить не надо
Если уже есть интегральный признак и интеграл от $\frac{1}{x}$ - то почему бы и не довести?
У нас в курсе по крайней мере сходимость при степени больше $1$ доказывалась именно так; расходимость самого гармонического ряда доказывалась на пальцах, но только потому что это был один из первых примеров действий с рядами, еще до каких-то общих штук.

 
 
 
 Re: Математический софизм о гармоническом ряде
Сообщение02.04.2019, 15:21 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #1385487 писал(а):
Тогда дело худо, т.к. она к нему не сходится.
С точностью до постоянной Эйлера, т.е. при логарифмируемой природной величине всего-лишь коэффициент - зависит от выбора единиц.

 
 
 
 Re: Математический софизм о гармоническом ряде
Сообщение02.04.2019, 15:22 
Korvin в сообщении #1385502 писал(а):
С точностью до постоянной Эйлера.

Во-первых, слишком сложно. Во-вторых, всё равно не сходится.

 
 
 
 Re: Математический софизм о гармоническом ряде
Сообщение02.04.2019, 15:43 
Аватара пользователя
mihaild в сообщении #1385490 писал(а):
Если уже есть интегральный признак и интеграл от $\frac{1}{x}$ - то почему бы и не довести?
Видите ли, в теории рядов, излагаемой студентам, гармонический ряд — буквально первый нетривиальный пример расходящегося ряда. До интегрального признака с оценками остатков и частичных сумм ещё читать и читать, да и после него возни немало. А в рассмотренном доказательстве достаточно лишь знать, что сходящаяся числовая последовательность ограничена (я зря там написал "$\rightarrow+\infty$"; надо было написать, что последовательность частичных сумм не ограничена).

 
 
 
 Re: Математический софизм о гармоническом ряде
Сообщение02.04.2019, 15:57 

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1385508 писал(а):
А в рассмотренном доказательстве достаточно лишь знать, что сходящаяся числовая последовательность ограничена (я зря там написал "$\rightarrow+\infty$"; надо было написать, что последовательность частичных сумм не ограничена).

Я как раз об этом хотел сказать, но постеснялся. Только я бы сказал немного иначе: следует знать, что для монотонной последовательности сходимость равносильна ограниченности (так удобнее думать -- действие выглядит более вынужденным).

 
 
 
 Re: Математический софизм о гармоническом ряде
Сообщение03.04.2019, 09:05 
provincialka в сообщении #1385341 писал(а):
Зная сумму обратных квадратов, найти такую же, но знакочередующуюся сумму.

Известно ли, чему равна эта знакочередующаяся сумма (и для больших степеней (может, это есть в гугле, тогда просьба дать ссылку) желательно, чтобы вывод был на школьном уровне)? (Я знаю ответ только для знакочередующейся суммы обратных натуральным числам.)

 
 
 
 Re: Математический софизм о гармоническом ряде
Сообщение03.04.2019, 09:41 
Аватара пользователя
Софизм, безусловно, хорош, но его должна предварять теорема о безусловной сходимости знакопостоянного ряда, что ломает привычную схему лекционного изложения теории рядов и делает софизм малоинтересным для применения на лекциях.

 
 
 
 Re: Математический софизм о гармоническом ряде
Сообщение03.04.2019, 11:27 
TR63 в сообщении #1385666 писал(а):
Известно ли, чему равна эта знакочередующаяся сумма

Вопрос снимается. Ответ нашла в гугле благодаря ссылке в соседней теме. (Почитаю.)

 
 
 
 Re: Математический софизм о гармоническом ряде
Сообщение03.04.2019, 21:16 
Brukvalub в сообщении #1385672 писал(а):
его должна предварять теорема о безусловной сходимости знакопостоянного ряда, что ломает привычную схему лекционного изложения теории рядов

Какая такая теорема?... -- если та, на которую я намекал, то она не только ничего не ломает, но безусловно необходима для любого вменяемого курса

 
 
 [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group