Математический софизм о гармоническом ряде

[mihaild]

Someone в сообщении #1385480 писал(а):

Только до логарифмов, слава богу, доводить не надо

Если уже есть интегральный признак и интеграл от $\frac{1}{x}$ - то почему бы и не довести?
У нас в курсе по крайней мере сходимость при степени больше $1$ доказывалась именно так; расходимость самого гармонического ряда доказывалась на пальцах, но только потому что это был один из первых примеров действий с рядами, еще до каких-то общих штук.

[Korvin]

ewert в сообщении #1385487 писал(а):

Тогда дело худо, т.к. она к нему не сходится.

С точностью до постоянной Эйлера, т.е. при логарифмируемой природной величине всего-лишь коэффициент - зависит от выбора единиц.

[ewert]

Korvin в сообщении #1385502 писал(а):

С точностью до постоянной Эйлера.

Во-первых, слишком сложно. Во-вторых, всё равно не сходится.

[Someone]

mihaild в сообщении #1385490 писал(а):

Если уже есть интегральный признак и интеграл от $\frac{1}{x}$ - то почему бы и не довести?

Видите ли, в теории рядов, излагаемой студентам, гармонический ряд — буквально первый нетривиальный пример расходящегося ряда. До интегрального признака с оценками остатков и частичных сумм ещё читать и читать, да и после него возни немало. А в рассмотренном доказательстве достаточно лишь знать, что сходящаяся числовая последовательность ограничена (я зря там написал "$\rightarrow+\infty$"; надо было написать, что последовательность частичных сумм не ограничена).

[ewert]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1385508 писал(а):

А в рассмотренном доказательстве достаточно лишь знать, что сходящаяся числовая последовательность ограничена (я зря там написал "$\rightarrow+\infty$"; надо было написать, что последовательность частичных сумм не ограничена).

Я как раз об этом хотел сказать, но постеснялся. Только я бы сказал немного иначе: следует знать, что для монотонной последовательности сходимость равносильна ограниченности (так удобнее думать -- действие выглядит более вынужденным).

[TR63]

provincialka в сообщении #1385341 писал(а):

Зная сумму обратных квадратов, найти такую же, но знакочередующуюся сумму.

Известно ли, чему равна эта знакочередующаяся сумма (и для больших степеней (может, это есть в гугле, тогда просьба дать ссылку) желательно, чтобы вывод был на школьном уровне)? (Я знаю ответ только для знакочередующейся суммы обратных натуральным числам.)

[Brukvalub]

Софизм, безусловно, хорош, но его должна предварять теорема о безусловной сходимости знакопостоянного ряда, что ломает привычную схему лекционного изложения теории рядов и делает софизм малоинтересным для применения на лекциях.

[TR63]

TR63 в сообщении #1385666 писал(а):

Известно ли, чему равна эта знакочередующаяся сумма

Вопрос снимается. Ответ нашла в гугле благодаря ссылке в соседней теме. (Почитаю.)

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1385672 писал(а):

его должна предварять теорема о безусловной сходимости знакопостоянного ряда, что ломает привычную схему лекционного изложения теории рядов

Какая такая теорема?... -- если та, на которую я намекал, то она не только ничего не ломает, но безусловно необходима для любого вменяемого курса