Расслоения

[Nickspa]

$E\to \mathbb{R}P^n$ - универсальное расслоение. Является ли $E\otimes E$ тривиальным?

Правильно ли я понимаю само расслоение?

Пусть $x\in S^n$ - единичной сфере в $\mathbb{R}^{n+1}$.
Тогда $\mathbb{R}P^n$ - множество неупорядоченных пар $\left\lbrace x, -x\right\rbrace$.

Тогда $E\otimes E$ - это множество $( \left\lbrace \pm x\right\rbrace, \upsilon\otimes\omega)$, где $\upsilon=qx,\omega=px$ - вектора, кратные вектору $x$.

Думаю, что расслоение тривиально. Доказать, наверное, можно указав базис.
Пробую так:
$s:\mathbb{R}P^n\to E\otimes E$ - сечение.
Композиция $S^n\to \mathbb{R}P^n\to E\otimes E$ переводит $x\in S^n$ в $( \left\lbrace \pm x\right\rbrace, q(x)x\otimes\ p(x)x)$.

В качестве базиса предлагаю $( \left\lbrace \pm x\right\rbrace, t(x)( x\otimes\ x))$.
$t(x)$ - вещественнозначная непрерывная функция. Возьмём, к примеру $t(x)=1$.

Где ошибаюсь?

[vpb]

Да вроде всё верно ... Только надо, чтобы $t(x)$ нигде не обращалась в нуль, разве что. И еще я не понимаю термин "универсальное расслоение" (с расслоениями вообще плохо знаком). Вот универсальное накрытие, это я знаю.

[Nickspa]

Универсальное оно же тавтологическое, расслоение, где слоем над $x$ как прямой в $\mathbb{R}^{n+1}$ является сама прямая.

vpb в сообщении #1385483 писал(а):

Только надо, чтобы $t(x)$ нигде не обращалась в нуль

Так если я беру $t(x)=1$, то в нуль и не обращается... Или Вы про что-то другое?

[vpb]

Я про то, что если не обращается (например, если тождественно единица), то можно взять в качестве базиса. А если где-то обращается --- то не пойдет.

[Slav-27]

У любого вещественного линейного расслоения квадрат тривиален (возможно, здесь надо сказать, что база $B$ должна быть хаусдорфова и паракомпактна), потому что они как группа изоморфны $H^1(B,\mathbb Z_2)$.

[Nickspa]

Slav-27 в сообщении #1385589 писал(а):

группа изоморфны $H^1(B,\mathbb Z_2)$

Этого ещё не проходил. А мои рассуждения верны?

[Slav-27]

Nickspa в сообщении #1385598 писал(а):

А мои рассуждения верны?

Непохоже. Например, оно вроде бы работает для $E$ точно так же, как и для $E\otimes E$ -- однако для $E$ утверждение неверно.

-- 03.04.2019, 00:41 --

А, нет, всё нормально: там надо, чтобы при замене $x$ на $-x$ ничего не менялось, и для $E\otimes E$ это так, но не для $E$. Итак, по-моему, рассуждение верно.