Геометрическая параметрическая задача

[Ioda]

Пусть в декартовой системе координат $A$ - центр окружности ,координаты которой имеют вид $(t;\sqrt{t})$ ,где $t\in\mathbb{R}_+$ ,и начало координат $B$ лежит на ней при любом $t$. В данную окружность вписан треугольник $BCD$ ,где точка $C$ лежит на оси абсцисс . Из точки $C$ проведена высота $CE$ ,и на точках $C$ и $D$ ,как на фокусах, построен эллипс ,такой что при любом $t$ точка $A$ лежит на нём. Точка $F$ является одной из точек пересечения окружности и эллипса. Найдите все значения параметра $t$ ,при которых точки $A$ ,$E$ , $C$ и $F$ лежат на одной прямой ,если известно ,что при искомом значении параметра точка $A$ лежит на высоте ,проведенной из точки $D$ и при любом значении $t$ треугольник $BCD$ равнобедренный с основанием $BC$.
Ответ к данной задаче имеется ,но кажется ,что он неполный (он включает лишь два значения параметра). Задачу придумал сам.

[svv]

Конструкция с началом координат и параболой предназначена для того, чтобы менять вершинный угол $BDC$ равнобедренного треугольника в зависимости от параметра. Значения угла лежат в интервале $(0, \pi/2)$. При изменении $t$ также меняется радиус окружности и её центр смещается, но это малосущественно для решения задачи, потому что остальные условия инвариантны относительно сдвига и изменения масштаба. Поэтому, чтобы понять, что тут происходит, лучше взять фиксированную окружность (а про эллипс сначала вообще не думать). Уже точки $A,E,C$ лежат на одной прямой лишь тогда, когда треугольник равносторонний ($t=3$). В условии нет ошибки?

-- Вс мар 31, 2019 23:28:38 --

Ioda в сообщении #1385045 писал(а):

при искомом значении параметра точка $A$ лежит на высоте ,проведенной из точки $D$

А это у меня вообще автоматически получается для любого значения параметра.

[Ioda]

svv в сообщении #1385153 писал(а):

В условии нет ошибки?

Да нет ,скорее оно просто избыточное. Один параметр нашли ,а второй наверняка вам очевиден.

[svv]

Нет, правда, не очевиден. У меня получается, что при $t<3$ (когда $BDC$ меньше остальных двух углов) высота $CE$ проходит ниже точки $A$. А при $t>3$ — выше $A$. И только при $t=3$ высота проходит через $A$. Пожалуйста, подскажите, где я ошибаюсь, можно написать в личку.

[Ioda]

svv в сообщении #1385258 писал(а):

Пожалуйста, подскажите, где я ошибаюсь,

Вы не ошибаетесь , и тревожить вас лично не хотелось бы . Снизу подсказка.

(Оффтоп)

Вырожденный случай при $t=0$ ,по очевидным причинам требуемое выполняется.

[svv]

(Оффтоп)

Спасибо, теперь всё понятно. Я подумал, что $\mathbb R_+$ — это множество положительных вещественных чисел, и $t=0$ исключается.

[Ioda]

В условии действительно оказалась ошибка . Требуемый эллипс должен быть построен на точках $E$ и $D$ ,как на фокусах, и при любом $t$ на нем лежит $A$ . Но ваш ответ ,svv, верен ,скорее всего вы поняли условие ,как и задумывалось.