Вычисление предела функции с корнями

[krash]

Добрый день!

Помогите, пожалуйста, понять механизм вычисления предела функции следующего вида:

$\lim_{x\to2} {\sqrt{2+x}}$

В учебнике Н.С. Пискунова практически во всех примерах на пределы "вычисление" предела происходит путем доказательства, что данный предел равен тому-то или тому-то. Например, он пишет: "Докажем, что $\lim_{x\to0}{\sin x} = 0$" - и далее следует отдельное доказательство данного факта. То есть он не подставляет 0 в $\sin x$ и не говорит: "Вот, собственно, и предел". Т.е. доказывается каждое такое утверждение.

Между тем, многое из того, что приводится в пример в интернете, выглядит следующим образом (см. пример 1 по ссылке): берется дробь, в нее подставляется предельное значение, через дальнейшие арифметические операции получается число, которое и называется пределом.

На основании чего такая подстановка в принципе возможна?
Разве не требуется доказать, что предел функции в примере 1 по ссылке вообще существует при $x\to2$?

Т.е. что мне непонятно более детально:
1. как доказать, что предел $\lim_{x\to2} {\sqrt{2+x}}$ существует,
2. если он существует и равен b, то как найти это самое b, такое что для каждого $\varepsilon > 0$ можно указать такое $\delta > 0$, что будут выполняться:

$|\sqrt{2+x} - b| < \varepsilon$, и $|x - 2| < \delta$

[gris]

Подстановка возможна, если функция непрерывна в данной точке. Непрерывность же выводится из свойств непрерывных функций (непрерывность суммы, произведения, частного, композиции непрерывных функций при соблюдении некоторых условий; непрерывности основных функций, которая выводится по определению).

[thething]

krash в сообщении #1384894 писал(а):

Разве не требуется доказать, что предел функции в примере 1 по ссылке вообще существует при $x\to2$?

Если удалось проверить определение предела, то доказано его (предела) существование.

krash в сообщении #1384894 писал(а):

если он существует и равен b, то как найти это самое b

Если ничего не известно про непрерывность, то просто "догадаться", а потом по определению показать, что догадка правильная.

Конкретно для этого примера можно воспользоваться теоремой, что монотонно возрастающая ограниченная сверху на промежутке $(0,2)$ функция имеет в точке 2 предел (слева), равный супремуму функции на этом промежутке. Но это, по-моему, перебор для такого простого примера.

[krash]

Спасибо!
Хорошо, что вы мне описали 2 случая - когда есть непрерывность, и когда про нее неизвестно.
Теперь все по полочкам.