Бесконечное объединение вложенных сигма-алгебр

[m7onov]

Добрый день.
Есть задача, решение которой мне не понятно. Звучит она следующим образом.
Задача: даны $\sigma$-алгебры $\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset...$ (бесконечный набор). Верно ли, что объединение этих $\sigma$-алгебр $\mathcal{F}=\mathcal{F}_1\cup\mathcal{F}_2\cup...$ будет $\sigma$-алгеброй?
Ответ: нет.
Решение основано на том, что находится такой случай, при котором видно, что объединение не является $\sigma$-алгеброй. А именно, берётся $\Omega=\mathbb{Z}$ (хотя тут, для целей доказательства, наверно, достаточно $\mathbb{N}$), определяется последовательность $\sigma$-алгебр, порождённых множествами, в которые по очереди добавляются подмножества $\{i\}$, где $i\in\mathbb{N}$, начиная с 1. То есть, $\{\{1\}\} \subset \{\{1\},\{2\}\} \subset \{\{1\},\{2\},\{3\}\} \subset ...$
Таким образом, получаются $\sigma$-алгебры:
$\mathcal{F}_1=\{\varnothing, \Omega, \{1\}, \Omega\backslash\{1\}\}$
$\mathcal{F}_2=\{\varnothing, \Omega, \{1\}, \Omega\backslash\{1\}\, \{2\}, \Omega\backslash\{2\}, \{1,2\}, \Omega\backslash\{1,2\}\}$
$ \begin{aligned} \mathcal{F}_3 ={} & \{\varnothing, \Omega, \\ & \{1\}, \Omega\backslash\{1\}, \{2\}, \Omega\backslash\{2\}, \{3\}, \Omega\backslash\{3\}, \\ & \{1,2\}, \Omega\backslash\{1,2\}, \{1,3\}, \Omega\backslash\{1,3\}, \{2,3\}, \Omega\backslash\{2,3\}, \\ & \{1,2,3\}, \Omega\backslash\{1,2,3\}\} \end{aligned} $
...
$ \begin{aligned} \mathcal{F}_n ={} & \{\varnothing, \Omega, \\ & \{1\}, \Omega\backslash\{1\}, \{2\}, \Omega\backslash\{2\}, \{3\}, \Omega\backslash\{3\}, ... ,\{n\}, \Omega\backslash\{n\}, \\ & \{1,2\}, \Omega\backslash\{1,2\}, \{1,3\}, \Omega\backslash\{1,3\}, \{2,3\}, \Omega\backslash\{2,3\},..., \{n-1,n\}, \Omega\backslash\{n-1,n\}, \\ & ... \\ & \{1,2,3,...,n\}, \Omega\backslash\{1,2,3,...,n\}\} \end{aligned} $
... (бесконечно)
Очевидно, $\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset ... \subset \mathcal{F}_n \subset ...$
A дальше начинается часть решения, которая мне не понятна. Приведу цитату:

Цитата:

Кроме того, ни одна из $\sigma$-алгебр $\mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2, ...$ не содержит множества $\{1,2,...\}$. Поэтому $\{1,2,...\} \notin \mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2 \cup ...$ Но множество $\{1\}, \{2\}, ... \in \mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2 \cup ...$ Если бы система множеств $\mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2 \cup ...$ была $\sigma$-алгеброй, то тогда множество $\{1,2,...\}$ принадлежало бы ей. Получили противоречие.

Мне не понятно почему $\{1\}, \{2\}, ... \in \mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2 \cup ...$ и при этом $\{1,2,...\} \notin \mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2 \cup ...$
Помогите разобраться.

[mihaild]

m7onov в сообщении #1384723 писал(а):

Мне не понятно почему $\{1\}, \{2\}, ... \in \mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2 \cup ...$ и при этом $\{1,2,...\} \notin \mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2 \cup ...$

Это не "при этом", это просто два утверждения. Они означают, что $\{n\} \in \mathcal F_i$ для некоторого $i$ (первое), и ни для какого $i$ не выполнено $\{1, 2, \ldots\} \in \mathcal F_i$ (второе). Хотя бы одно из этих утверждений вы можете доказать?

[m7onov]

mihaild в сообщении #1384727 писал(а):

Хотя бы одно из этих утверждений вы можете доказать?

Боюсь, что мне пока не хватает знаний для этого. Я просто пытаюсь логически свести концы с концами. Вот у нас есть бесконечное объединение "расширяющихся" множеств ($\sigma$-алгебры) и при этом такое бесконечное объединение содержит конечное (???) множество элементов?

[mihaild]

Тут знаний особо не надо. Вернитесь к истокам - что вообще такое сигма-алгебра? Что такое объединение сигма-алгебр?

[george66]

Сигма-алгебра должна быть замкнута относительно счётных объединений (входящих в неё множеств).

[george66]

А, я понял, проблемы с пониманием объединения. Есть бесконечный набор семейств множеств (сигма-алгебр). Множество принадлежит объединению всех этих сигма-алгебр если и только если оно принадлежит хоть какой-нибудь сигма-алгебре. Это понятно? Если непонятно, замените множества на "чайные ложки". Есть бесконечный набор семейств (комплектов) чайных ложек: $F_1,F_2,F_3\ldots$ Чайная ложка принадлежит объединению всех этих комплектов если и только если она принадлежит хоть какому-нибудь комплекту.

[m7onov]

Да, это понятно. Один уточняющий вопрос. Есть бесконечное объединение множеств
$\{1\} \cup \{1, 2\} \cup \{1, 2,3\},...$
Входит ли в него множество всех натуральных чисел (без нуля)?

[george66]

В это бесконечное объединение не входят никакие множества натуральных чисел, в него входят только числа $1,2,3\ldots$ Если понимать "входит" как "является элементом" (это не то же самое, что "является подмножеством")

[m7onov]

Да, спасибо за уточнение. Я хотел сказать, "совпадает ли бесконечное объединение множеств в ряде со множеством натуральных (без нуля) чисел". Но ответ и в такой формулировке, будет "нет", насколько я понимаю. Почему?

[george66]

А почему вы так понимаете? Обоснуйте.

[george66]

Сигма-алгебра -- это не множество натуральных чисел, а множество множеств натуральных чисел. При объединении сигма-алгебр их элементы (множества) никак между собой не смешиваются.

[Mikhail_K]

m7onov в сообщении #1384879 писал(а):

Я хотел сказать, "совпадает ли бесконечное объединение множеств в ряде со множеством натуральных (без нуля) чисел". Но ответ и в такой формулировке, будет "нет", насколько я понимаю.

А что вообще значит "два множества совпадают"? Это значит, что если какой-то элемент входит в одно из этих множеств, то он обязательно входит и во второе, а если какой-то элемент входит во второе множество, то он обязательно входит и в первое.

Если какое-то объединение НЕ совпадает со множеством натуральных чисел, как Вы говорите, то это означает, что существует натуральное число, не входящее в объединение (т.е. не входящее ни в одно из множеств в объединении), или же существует элемент объединения (т.е. элемент одного из множеств в объединении), не являющийся натуральным числом.

В Вашем примере это так или не так?

[Otta]

m7onov в сообщении #1384723 писал(а):

А именно, берётся $\Omega=\mathbb{Z}$ (хотя тут, для целей доказательства, наверно, достаточно $\mathbb{N}$),

Смотря для чего достаточно. В одном случае

m7onov в сообщении #1384723 писал(а):

$\{1,2,...\} \notin \mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2 \cup ...$

а в другом - нет.

[g______d]

Кстати, утверждение в исходном посте можно усилить: объединение счётного числа строго вложенных сигма-алгебр вообще никогда не является сигма-алгеброй.

[m7onov]

Я пока возьму паузу, чтобы разобраться в том, что тут накидали. Как разберусь почему и что у меня в голове не сходится, отпишусь тут. Пока полной ясности нет. Кто откликнулся и попытался помочь, спасибо.