Свертка с отрицательной областью опр

[upgrade]

Заданы случайные величины $X$ и $Y$, $0\leqslant X < \infty$, $0\leqslant Y < \infty$
$P(X+Y=n)=\sum\limits_{i=0}^n P(X=i)\cdot P(Y=n-i)$
В формуле же только знаки поменяются, если сделать так: $Z=(-1)\cdot Y$:
$P(X+Z=-n)=\sum\limits_{i=-n}^{0} P(X=i)\cdot P(Z=n-i)$
Т.о.
$P(X+(-Y)=-n)=\sum\limits_{i=-n}^{0} P(X=i)\cdot P(Y=n-i)$

[mihaild]

upgrade в сообщении #1384741 писал(а):

В формуле же только знаки поменяются, если сделать так: $Z=(-1)\cdot Y$:
$P(X+Z=-n)=\sum\limits_{i=-n}^{0} P(X=i)\cdot P(Z=n-i)$

Как вы это получили? (и лучше меняйте знаки у $n$ и $Y$ по отдельности, либо напишите, почему важно их менять вместе)

[upgrade]

mihaild в сообщении #1384743 писал(а):

Как вы это получили?

Быстро не смогу объяснить, долго возился с выводом и теперь в поиске нити рассуждений (ну и, соответственно, ошибки, если она есть).
Логика примерно следующая:
поскольку вероятность - суть частота отдельного события в полной группе событий, а частота - это подсчет событий, а пересечение двух множеств - это их произведение (что мы видим в формуле) и мы ведь считаем пересечением интересующие нас события, то при смене знака (в данном случае) надо поменять и знак того, количество чего пересечением в группе считаем, в данном случае мы считаем сколько там $n$, значит меняем знак у $n$... вот как то так.
Т.е. если оба умножить на $-1$ то знаки снова поменяются, но формула останется той же.

[arseniiv]

upgrade в сообщении #1384741 писал(а):

Заданы случайные величины $X$ и $Y$, $0\leqslant X < \infty$, $0\leqslant Y < \infty$
$P(X+Y=n)=\sum\limits_{i=0}^n P(X=i)\cdot P(Y=n-i)$

Вот любят же люди ограничения на свою голову вводить. Пусть $X, Y$ — целочисленные случайные величины (и не важно, есть ли ненулевая вероятность принимать отрицательные или положительные значения). Тогда формула свёртки записывается так:

$$\Prob(X+Y=n)=\sum_{i=-\infty}^\infty \Prob(X=i) \Prob(Y=n-i).$$

Вот теперь вы можете совершенно механически заменить $Y$ на $-Z$, а пределы (хотя они тоже обычно меняются механически…) не трогать, и уже после этого аккуратно смотреть, что может дать для области суммирования добавление ограничений на ненулевые вероятности. Можно нарисовать функцию $\Prob(X=x) \Prob(Y=y)$ и делать это геометрически, отсекая полуплоскости.

[mihaild]

Какой-то набор ничего не значащий набор слов. Закономерно приводящий к неправильному выводу.
Если хотите, чтобы можно было разобраться и найти ошибку - сделайте максимально короткие переходы, и все используемые объекты явно обозначайте, чтобы не было ссылок вида "того, количество чего пересечением в группе считаем".
(и кстати у вас ничего не сказано про независимость, а без этого уже

upgrade в сообщении #1384741 писал(а):

$P(X+Y=n)=\sum\limits_{i=0}^n P(X=i)\cdot P(Y=n-i)$

неверно)

[upgrade]

arseniiv в сообщении #1384752 писал(а):

Тогда формула свёртки записывается так:

$$\Prob(X+Y=n)=\sum_{i=-\infty}^\infty \Prob(X=i) \Prob(Y=n-i).$$

Верхний предел $n$ наверное?

[mihaild]

upgrade в сообщении #1384757 писал(а):

Верхний предел $n$ наверное?

Нет, с чего бы? Чем вариант $X = n + 1, Y = -1$ плох?

[upgrade]

mihaild в сообщении #1384758 писал(а):

Нет, с чего бы?

Потому что считаем сколько раз $n$ встречается.

mihaild в сообщении #1384758 писал(а):

Чем вариант $X = n + 1, Y = -1$ плох?

А понял, действительно бесконечность

[arseniiv]

Плюс формул без пределов — ими чуть проще крутить. (Кстати если вам часто будут попадаться преобразования сумм, в том числе с пределами или там по индексам одинаковой чётности и т. п., посмотрите Кнута, Грэма, Паташника «Конкретная математика», там собрана куча преобразований, заметок, ну и как основание это может пригодиться. И конечные/счётные вероятностные пространства там тоже рассматриваются.)

[upgrade]

arseniiv в сообщении #1384752 писал(а):

Вот теперь вы можете совершенно механически заменить $Y$ на $-Z$, а пределы (хотя они тоже обычно меняются механически…) не трогать

$$\Prob(X+(-Z)=n)=\sum_{i=-\infty}^\infty \Prob(X=i) \Prob(Z=-(n-i)).$$

так???

-- 29.03.2019, 16:35 --

arseniiv в сообщении #1384765 писал(а):

посмотрите Кнута, Грэма, Паташника «Конкретная математика»

О, спасибо, а то в интернете ничего не смог внятного обнаружить.

-- 29.03.2019, 16:51 --

mihaild в сообщении #1384754 писал(а):

и кстати у вас ничего не сказано про независимость

Да, они независимы.

[arseniiv]

upgrade в сообщении #1384766 писал(а):

так???

Да, теперь можно дальше преобразовывать.