Точка перегиба

[Ёж]

Необходимое условие экстремума (если $x_0$ - точка экстремума функции $f(x)$, то либо $f'(x_0)=0$, либо $f'(x_0)=\infty$, либо $f'(x_0)$ не существует) можно легко показать на примерах:

1) Для функции $f(x)=x^2$ точка $x_0=0$ - точка экстремума. В данной точке $f'(0)=0$. А для функции $f(x)=x^3$, несмотря на то, что $f'(0)=0$, данная точка не является точкой экстремума.

2) Для функции $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$ точка $x_0=0$ - точка экстремума. В данной точке $f'(0)=\infty$. А для функции $f(x)=\sqrt[3]{x}$, несмотря на то, что $f'(0)=\infty$, данная точка не является точкой экстремума.

3) Для функции $f(x)=|x|$ точка $x_0=0$ - точка экстремума. В данной точке производная $f'(0)$ не существует. А для функции $f(x)=|x|-2x$, несмотря на то, что производная $f'(0)$, не существует данная точка не является точкой экстремума.

Необходимое условие точки перегиба (если $x_0$ - точка экстремума функции $f(x)$, то либо $f''(x_0)=0$, либо $f''(x_0)=\infty$, либо $f''(x_0)$ не существует).

Например,

1) Для функции $f(x)=x^3$ точка $x_0=0$ - точка перегиба. В данной точке $f''(0)=0$. А для функции $f(x)=x^4$, несмотря на то, что $f''(0)=0$? данная точка не является точкой перегиба.

Какие легкие примеры можно привести для второго и третьего случая?

[Otta]

Примеры чего?

-- 25.03.2019, 00:09 --

А, дошло. Сложная архитектура у Вас.
Домножьте все свои примеры на $x$, вдруг поможет.

[Ёж]

Otta в сообщении #1383912 писал(а):

Примеры чего?

-- 25.03.2019, 00:09 --

А, дошло. Сложная архитектура у Вас.
Домножьте все свои примеры на $x$, вдруг поможет.

Примеры точки перегиба, в которой
1. вторая производная равна бесконечности
2. вторая производная не существует

-- Пн мар 25, 2019 15:04:13 --

Вроде на первый вопрос ответ нашел:

для функции $f(x)=\sqrt[3]{x}$ точка $x_0=0$ - точка перегиба (в данной точке $f''(0)=\infty$), а для функции $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$ точка $x_0=0$ не является точкой перегиба, хотя $f''(0)=\infty$.

[Otta]

Ёж в сообщении #1384038 писал(а):

($f''(0)=\infty$),

Не равна. Чтобы определить вторую производную, надо в полной окрестности определить первую.

[Ёж]

Otta в сообщении #1384077 писал(а):

Ёж в сообщении #1384038 писал(а):

($f''(0)=\infty$),

Не равна. Чтобы определить вторую производную, надо в полной окрестности определить первую.

Тогда (как Вы предлагали):
для функции $f(x)=\sqrt[3]{x^5}$ точка $x_0=0$ - точка перегиба (в данной точке $f''(0)=\infty$), а для функции $f(x)=\sqrt[3]{x^4}$ точка $x_0=0$ не является точкой перегиба, хотя $f''(0)=\infty$?

[Otta]

Пока так.

[Ёж]

Otta в сообщении #1384197 писал(а):

Пока так.

продолжу

для функции $f(x)=x|x|$ точка $x_0=0$ - точка перегиба (в данной точке производная $f''(0)$ не существует), а для функции $f(x)=x|x|-2x^2$ точка $x_0=0$ не является точкой перегиба, хотя производная $f''(0)$ не существует?

[Otta]

Будет хорошо, если Вы это будете обосновывать. Не мне, Вам. И что существует-не существует, и что является-не является.

[Ёж]

Otta в сообщении #1384247 писал(а):

Будет хорошо, если Вы это будете обосновывать. Не мне, Вам. И что существует-не существует, и что является-не является.

Спасибо Вам большое!

Для себя я разобрал. В последнем случае, для обеих функций $f'(0)=0$, а вот $f''(0)$ не существует, т.к. односторонние производные в точке $x=0$ не совпадают. Потом определил для каждого интервала знак второй производной.

А как Вы догадались, что исходные функции нужно было умножить на $x$ или это работает для всех функций и имеется ли какая нибудь теорема?

[Otta]

Ёж в сообщении #1384260 писал(а):

А как Вы догадались, что исходные функции нужно было умножить на $x$

Ну я большая девочка уже.
Теоремы нету. Функции хорошие, типа моном (или слегка подпорченный моном), производные в нуле - коэффициенты ряда Тейлора (если функция в ряд раскладывается), первая - при первой степени, вторая - при второй. Как из первой сделать вторую? увеличить степень на единицу, то есть умножить на $x$. (Ну грубо если.)

Не знаю, понятно ли вышло. Я не задумывалась. Это очевидный такой трюк.

[Ёж]

Спасибо большое!