Математика естественно-единой теории взаимодействий

333 · 19/03/19 ∞ 1

Известно, что существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса $C^{k}$ , а экспоненциальное — аналитическим функциям. Отсюда следует возможность существования гипераналитических функций, для которых убывание коэффициентов Фурье соответствует тетрации.

Естественная гипераналитическая функция возникает при рассмотрении решётки с шагом $L$ , в узлах которой расположены не определённые пока объекты. Распределение центров объектов можно описать с помощью решётчатой функции (РФ). Определение одномерной РФ основано на следующем тождестве

$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x}{\sigma})^{2}}dx=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-nL}{\sigma})^{2}}dx=1.$

Впервые значение этого одномерного интеграла было вычислено в 1729 году Леонардом Эйлером во время его работы в Петербургской Академии наук. Карл Фридрих Гаусс, чьим именем названа подинтегральная функция первого интеграла, родится 30 апреля 1777 года.
Отсюда РФ есть

$\mathbb{R}(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-nL}{\sigma})^{2}}.$

Очевидно, что РФ не может быть разложена в ряд Фурье, так как она не интегрируется в элементарных функциях. В силу этого РФ не может быть разложена на чётную и нечётную функцию, в то время как произвольная аналитическая функция $f$ может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций в интервале $[a,b]$ :

$f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right),$

где

$g\left(x\right)=\frac{f\left(x-a\right)-f\left(b-x\right)}{2},$

$h\left(x\right)=\frac{f\left(x-a\right)+f\left(b-x\right)}{2}.$

Благодаря этому РФ может быть разложена в бесконечный ряд по двум примитивным гипераналитическим функциям путём последовательных попыток разложения на чётную и нечётную функцию. Таким образом, РФ может быть разложена в ряд самым простым способом, но в отличие от ортонормированного ряда Фурье полученный ряд таковым не является.

Введённая функция имеет важное значение для квантовой физики поскольку полученное разложение определяет пространство взаимодействий. Основанием для такого утверждения является то, что коэффициенты разложения являются интенсивностями известных взаимодействий, выраженных через постоянную тонкой структуры $\alpha$ (ПТС).
Введём следующие определения:

$\mathbb{R}\left(0\right)=\mathbb{R}_{\max}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{-n}{\sigma}\right)^{2}}$ ,

$\mathbb{R}\left(1/2\right)=\mathbb{R}_{\min}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{1/2-n}{\sigma}\right)^{2}}.$

Теперь введём параметр тонкой структуры $\alpha$ как функцию от $\sigma$ :

$\alpha\left(\sigma\right)=\frac{1}{2}\frac{\mathbb{R}_{\max}-\mathbb{R}_{\min}}{\mathbb{R}_{\max}+\mathbb{R}_{\min}}.$

Выбор названия и обозначения этого параметра обусловлен тем, что $\alpha\left(0.4992619105929628\right)=\alpha=\frac{e^2}{\ 4 \pi \varepsilon_0 \hbar c},$
где e — элементарный электрический заряд,
$\hbar=h/2\pi$ — постоянная Дирака (или приведённая постоянная Планка)
c — скорость света в вакууме,
$\varepsilon_0$ — электрическая постоянная.

Теперь аппроксимация $\mathbb{R}(x)$ будет иметь вид:

$A\left(x\right)=\frac{\mathbb{R}_{\max}+\mathbb{R}_{\min}}{2}(1+2\alpha \cos\left(2\pi x\right)) +2\sum_{i=1}^{\infty}\alpha^{4^{i}}\left(\cos\left(2i\times 2\pi x\right)-1\right)+\\ +\frac{2}{\mathbb{W}_{\max}}\sum_{i=1}^{\infty}\alpha^{9{i}^2}\left(\cos\left(3 \times (2i-1)\times 2\pi x\right)-\cos\left((2i-1) \times 2\pi x\right)\right),$

где $\mathbb{W}_{\max}$ — нормировочный множитель (равный значению $\left(\cos\left(3 \times (2i-1)\times 2\pi x\right)-\cos\left((2i-1) \times 2\pi x\right)\right)$ в точке максимума). Коэффициент 2 при всех косинусах является следствием симметрии $\mathbb{R}(x)$ относительно $x=0$ .

Для квантования времени прямое использование идеи решётки является слишком формальным. Поэтому целесообразно использовать определение производной по времени, но без перехода к пределу. Пусть $\mathbb{R}\left(t\right)$ есть РФ на единичном интервале $\left[-T/2, T/2\right]$
при $\tau=\sigma$ и $T=1$ :

$\mathbb{R}\left(t\right)=\frac{1}{\tau\sqrt{2\pi}}\sum_{i=-\infty}^{\infty}\left[\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{t+T/4-iT}{\tau}\right)^{2}\right)-\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{t-T/4-iT}{\tau}\right)^{2}\right)\right].$

$\mathbb{R}\left(t\right)$ также является гипераналитической функцией, поскольку имеет место следующая аппроксимация:

$\alpha_{eff}\left(t,\tau\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\alpha^{(2k+1)^{2}}\sin\left(2\pi\left(2k+1\right)t\right).$

Текущее состояние теории изложено здесь лженаучная ссылка с саморекламой удалена

Есть возможность узнать всё о долгожданной квантовой теории тяготения.

Ioda · 19.03.2019, 20:34