Поиск объема

[Quttar]

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{x^2}{2}+2x+2$ и $y = 2$
Вроде бы задача на применение формулы для поиска объема тела вращения вокруг оси Оу

Вот такой график я начертил:


Решение вроде бы простое. Нужно из объема прямой вокруг оси Оу на отрезке [-4, 0] вычесть объем параболы на этом же отрезке вокруг оси Оу

Но вот проблема нижний предел должен быть больше нуля. Поменять местами не вариант, верхний предел должен быть больше либо равен нижнему. И вот появилась идея, а что если мы просто сместим параболу на 4 единицы вправо, ну то есть сместим только ту часть параболы, которая нам нужна. "Новая" парабола изображена штрихпунктиром.

Я может неплохо разбираюсь в математике на школьном уровне, но с тем что-бы перенести параболу вправо возникли небольшие проблемы,но все же вот)
$y = \frac{x^2}{2}-2x+2$

На самом деле я это писал и одновременно решал. К тому же я не знал получится решение или нет И... в результате сошлось с ответом) $\frac{64}{3}$\pi$$

Но стоило ли так решать? Мне кажется что этот способ не особо гибкий, а что если у нас будет логарифмическая функция. Она не "симметрична" и было бы не понятно как ее смещать. Так вот есть ли здесь более простой способ решения?

[Someone]

Quttar в сообщении #1381917 писал(а):

с тем что-бы перенести параболу вправо возникли небольшие проблемы

Надо было не перенести, а отразить относительно оси $Oy$, то есть, в уравнении параболы заменить $x$ на $-x$.

Нужды, правда, в этом не было, просто формула объёма тела, полученного вращением вокруг оси $Oy$ криволинейной трапеции

$$\begin{cases}a\leqslant x\leqslant b,\\ f_1(x)\leqslant y\leqslant f_2(x),\end{cases}$$

где предполагается, что вся трапеция лежит по одну сторону от оси $Oy$, может быть записана в виде

$$V=2\pi\int\limits_a^b\lvert x\rvert(f_2(x)-f_1(x))dx.$$

Аналогично, если указанная криволинейная трапеция вся лежит по одну сторону от оси $Ox$, то формула объёма тела, образованного вращением этой криволинейной трапеции вокруг оси $Ox$, может быть записана в виде

$$V=\pi\int\limits_a^b\left\lvert(f_2(x))^2-(f_1(x))^2\right\rvert dx.$$