Шарик, желоб и телега = опрос

[EUgeneUS]

Вроде бы раньше не было.

Шарик массы $m$ скатывается с желоба высоты $h$
Везде радиус кривизны желоба много больше радиуса шарика.
Желоб внизу имеет горизонтальный участок, достигнув которого шарик ударяется в покоящуюся телегу массой $M$.
Масса телеги много больше массы шарика.
Удар шарика в телегу абсолютно упругий.
Трения между телегой и шариком нет.

Вопрос - в каком случае телега получит бОльшую скорость
а) если желоб абсолютно гладкий.
б) если желоб абсолютно шероховатый.

Просьба: ответ писать после устного\в уме решения (оценки) задачи, а потом проверять на бумажке.

[wrest]

Думаю, что если шероховатый.

Но тут надо еще уточнить условия, кмк: положим, что переход из наклонной части желоба в горизонтальную закругленный, чтобы шарик не подпрыгивал, и что телега гладкая (трения между телегой и шариком нет).

[EUgeneUS]

wrest
Эти уточнения в условиях есть.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1381541 писал(а):

Эти уточнения в условиях есть.

А, точно.

[miflin]

Гладкий. На бумажке не проверял.

[dobrichev]

Гладкий, если в начальном положении шарик не вращается очень быстро.

[EUgeneUS]

dobrichev в сообщении #1381554 писал(а):

Гладкий, если в начальном положении шарик не вращается очень быстро.

В начальном положении шарик покоится

[EUgeneUS]

Спасибо всем проголосовавшим в опросе.
Может у кого-нибудь ещё возникнет желание поставить отметку, поэтому далее подкатом.

(У меня на бумажке получилось так)

Обозначим:

$V$ - скорость тележки после столкновения с шариком, желоб абс. гладкий
$V'$ - скорость тележки после столкновения с шариком, желоб желоб абс. шероховатый
$\nu = \frac{V'}{V}$
$k = 1 + \frac{J}{mr^2}$, где $J$, $m$, $r$ - момент инерции, масса и радиус шарика. Для шара равномерной плотности $k=\frac{7}{5}$.
$k$ - всегда больше $1$, достигает $2$ для тонкостенного цилиндра. Можно придумать конструкцию, где он будет больше $2$.
$\mu = \frac{M}{m}$

Тогда получается интересная зависимость отношения скоростей от отношения масс:

$\nu = \sqrt{k}\frac{1+\mu}{k+\mu}$

При $\mu > \sqrt{k}$ телега получит бОльшую скорость, если её ударит шарик на абс. шероховатом желобе
При $\mu < \sqrt{k}$ телега получит бОльшую скорость, если её ударит шарик на абс. гладком желобе

[miflin]

Сразу представилась ситуация, что шарик ударяет по телеге, уже покинув желоб. Из этого и исходил.
А потом понял, что телега находится на желобе...

[wrest]

(Качественно вот как-то так:)

Если массы одного порядка (по условию - нет), то в частном случае если массы равны, то при гладком желобе шарик после столкновения останется на месте, так что его потенциальная энергия которая была у него сверху желоба, сконвертируется в кин. энергию тележки на 100% При шероховатом желобе что-то таки потратится на трение. При увеличении отношения масс в пользу шарика, важна становится только его скорость при столкновении, а скорость эта больше если желоб гладкий. При уменьшении массы шарика в сторону меньшую массы тележки, когда шарик отскакивает взад, становится важным "дополнительная" передача импульса шарика тележке за счет того что шарик "упрется" в желоб трением и не отскочит, и соотв. в этой стороне (как по условию задачи) соотношения масс нужен шероховатый желоб.

Соответственно, между $m<<M$ и $m>>M$ где-то в районе правее $m \approx M$ (шарик ненамного легче тележки) будет какой-то, по крайней мере один, экстремум, при котором без разницы шероховатый желоб или гладкий. Вопрос только, будет ли зависеть положение этого экстремума от коэффициента трения шарика о желоб.

[EUgeneUS]

wrest

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1381618 писал(а):

При шероховатом желобе что-то таки потратится на трение.

На трение ничего не тратится, так как желоб абс. шероховатый. Это означает, что проскальзывания нет никогда. А нет проскальзывания - нет работы силы трения.

wrest в сообщении #1381618 писал(а):

становится важным "дополнительная" передача импульса шарика тележке за счет того что шарик "упрется" в желоб трением, и соотв. в этой стороне (как по условию задачи) соотношения масс нужен шероховатый желоб.

Как-то так. Да.
Задача сформировалась как иллюстрация к недавней теме про удар (кстати, она куда-то делась): если шарик во время удара во что-то упирается, что не дает ему отлететь назад, то он передает больше импульса и энергии.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1381621 писал(а):

На трение ничего не тратится, так как желоб абс. шероховатый. Это означает, что проскальзывания нет никогда.

У меня в памяти засело, что с вращающимися шероховатыми шариками при ударах такой трюк не проходит. Ну чтоб было наглядней, пусть будет не шар, а диск. Едет по по шероховатому полу (например шестеренка катится по зубчатой рейке) и врезается в гладкую стену. Как-то там всё непросто выходит... Но может я запамятовал чегой.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1381618 писал(а):

Вопрос только, будет ли зависеть положение этого экстремума от коэффициента трения шарика о желоб.

что произойдет при конечном коэффициенте трения - это отдельный интересный вопрос и повод для другой задачи. UPD: Завел отдельную тему.

[dovlato]

Конечно гладкий. Тогда импульс шарика максимален.

А, чёрт, не учёл - он же НЕ ПРОВОРАЧИВАЕТСЯ относительно жёлоба в момент удара!
Тогда "эквивалентная масса" шарика вырастает; а т.к. энергия будет та же самая,
то для абсолютно шероховатого, шестерёнчатого шарика очень тяжёлая телега поедет быстрее.
Хороший вопрос.