Система ДУвЧП - аналитическое решение

[Парджеттер]

Добрый день.

У меня следующий вопрос.
Вот у меня есть такая система уравнений в частных производных

\begin{gather} \frac{\partial n}{\partial x} + \frac{C}{B} \left( \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial x} +v\right)=0\\ \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{BC} \frac{\partial w}{\partial x}\\ \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{1}{BC} \frac{\partial w}{\partial y}\\ w=w(n) \end{gather}
где
$u=u(x,y)$,
$v=v(x,y)$,
$w=w(x,y)$,
$n=n(x,y)$,
$B,C = const$.

Уравнение (4) - алгебраическое (я еще не придумал какое, но для примера можно взять что-то типа $w=An^a$, где $A$, $a$ - постоянные).

Можно ли вытянуть из этой системы что-либо аналитически?

[Gafield]

Считая $\partial u/\partial n=f$ заданной, получим линейную систему из трех уравнений с тремя неизвестными $u,v,w$. Выписав ее общее решение (зависящее от $f$), можно искать $n$. Условие $w=w(n)$ означает, что градиенты $w$ и $n$ пропорциональны: $\nabla w=a\nabla n$. Воможно ли что-либо отсюда извлечь, надо смотреть на конкретный вид $w$ (если она выпишется достаточно явно). По крайней мере, размерность системы уменьшается до двух - на функции $n$ и $a$.

ЗЫ Если же зависимость $w(n)$ задавать явно, то все даже проще, получается одно уравнение на $n$.

[ddn]

Парджеттер писал(а):

\begin{gather} \frac{\partial n}{\partial x} + \frac{C}{B} \left( \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial x} +v\right)=0\\ \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{BC} \frac{\partial w}{\partial x}\\ \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{1}{BC} \frac{\partial w}{\partial y}\\ w=w(n) \end{gather}
где
$u=u(x,y)$,
$v=v(x,y)$,
$w=w(x,y)$,
$n=n(x,y)$,
$B,C = const$.

Уравнение (4) - алгебраическое (я еще не придумал какое, но для примера можно взять что-то типа $w=An^a$, где $A$, $a$ - постоянные).

Предварительный анализ.

Из $\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{BC}\frac{\partial w}{\partial x}$ находим $u(x,y)=-\frac{1}{BC} w(x,y)+\frac{1}{BC}w(0,y)+f(y)$, и
$\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}=-\frac{1}{BC}\frac{dw(n(x,y))}{dn}\frac{\partial n(x,y)}{\partial x}$, и
$\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial^2 x}=-\frac{1}{BC}\left(\frac{d^2w(n(x,y))}{d^2n}(\frac{\partial n(x,y)}{\partial x})^2+\frac{dw(n(x,y))}{dn}\frac{\partial^2 n(x,y)}{\partial^2 x}\right)$.

Из $\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{BC}\frac{\partial w}{\partial y}$ находим $v(x,y)=-\frac{1}{BC}\int\limits^x_0\frac{\partial w(x',y)}{\partial y}dx'+g(y)=-\frac{1}{BC}\int\limits^x_0\frac{dw(n(x',y))}{dn}\frac{\partial n(x',y)}{\partial y}dx'+g(y)$, и
$\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}=-\frac{1}{BC}\frac{dw(n(x,y))}{dn}\frac{\partial n(x,y)}{\partial y}$, и
$\frac{\partial v(x,y)}{\partial x\partial y}=-\frac{1}{BC}\left(\frac{d^2w(n(x,y))}{d^2n}\frac{\partial n(x,y)}{\partial x}\frac{\partial n(x,y)}{\partial y}+\frac{dw(n(x,y))}{dn}\frac{\partial^2 n(x,y)}{\partial x\partial y}\right)$

Из $\frac{\partial^2 n}{\partial^2 x}+\frac{C}{B} \left( \frac{\partial^2 v}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x}+\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}\right)=0$ получаем
$B^2\frac{\partial^2 n(x,y)}{\partial^2 x}=\frac{d^2w(n(x,y))}{d^2n}\frac{\partial n(x,y)}{\partial x}\left(\frac{\partial n(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial n(x,y)}{\partial y}\right)+\frac{dw(n(x,y))}{dn}\left(\frac{\partial^2 n(x,y)}{\partial^2 x}+\frac{\partial^2 n(x,y)}{\partial x\partial y}+\frac{\partial n(x,y)}{\partial y}\right)$

Мы имеем нелинейное дифф. уравнение ЧП 2-й степени от неизвестной функции $n(x,y)$, которое врятли можно решить, если не найдется какой-нибудь инвариант (или группа симметрий).
Может стоит исследовать сигнатуру квадратичной формы?

[Gafield]

Все-таки, по-моему, проще считать сначала $n$ известной: дифференцируя первые три уравнения системы по $x$ и подставляя второе и третье в первое, получим

$$\frac{\partial^2 n}{\partial x^2}=\frac {1}{B^2}\left(2\frac{\partial^2 w}{\partial x\partial y}+\frac{\partial w}{\partial y}\right)$$

.

Mathematica дает решение

$${w(x,y)= \frac {B^2}{2}\int_1^y e^{-x/2} \left(\int_1^x {e^{K_1/2} \frac{\partial^2 n(K_1,K_2)}{\partial x^2}} \, dK_1+C_1(K_2)\right) \, dK_2+C_2(x)$$

, где $C_1,C_2$ - произвольные функции.

[Парджеттер]

Gafield, ddn, благодарю Вас.

[Gafield]

Кстати, в первом уравнении системы есть член $v$. На локальные свойства решений он вроде влиять не должен. Если же его откинуть, рассмаривая то, что останется в качестве модельного случая , все упростится. Получится уравнение $\frac{\partial^2 n}{\partial x^2}=\frac 2{B^2}\frac{\partial^2 w}{\partial x\partial y}$. После интегрирования по $x$ будет квазилинейное УрЧП первого порядка $\partial_x n(x,y)=\frac 2{B^2}w'(n(x,y))\partial_yn(x,y)+f(y)$, где $f$ - произвольная функция. Про такие уравнения много чего известно. Возможно, тут получится качественно описать поведение системы. По крайней мере, локально: характеристики, задача Коши и т.д. Компоненты $u$ и $v$ восcтанавливаются из второго и третьего уравнений.