Как обосновать нахождение базисных строк методом Гаусса?

[andreyka]

На практических занятиях находили базисные строк методом Гаусса, помечая строки при перестановке местами. Оставшиеся в итоге ненулевые строки соответствовали базисным. Как теоретически обосновать этот метод? В какой книге об этом можно прочитать?

[vpb]

Курош "Курс высшей алгебры", Кострикин "Введение в алгебру", Киркинский "Линейная алгебра и аналитическая геометрия" ... тысячи их !

[andreyka]

vpb в сообщении #1381451 писал(а):

Кострикин "Введение в алгебру"

Можете указать конкретную страницу в какой-нибудь книге, где написано о поиске базисных строк методом Гаусса? Да, сам метод Гаусса везде есть, и что ранг матрицы сохраняется при элементарных преобразованиях строк - тоже везде есть.

[iifat]

Зачем вам книга? Вот представьте, взяли матрицу, прогнали методом Гаусса (предположим, менять местами строки не понадобилось), получили сколько-то ненулевых, а последняя — нулевая.
Попробуйте доказать, строки линейно зависимы. А ненулевые — линейно независимы.
Начните с двух строк.

[vpb]

Да, строго говоря, в книгах этой конкретной мысли нет, но она довольно очевидна. В самом деле, легко видеть (докажите! это доказывается в два-три предложения), что если одна матрица получена из другой элементарным преобразованием строк, то пространства всевозможных линейных комбинаций строк у этих двух матриц совпадают. Кроме того, если матрица имеет ступенчатый вид, то ее ненулевые строки линейно независимы (докажите). Значит, если матрицу привести к ступенчатому виду, то строки получившейся матрицы --- это базис пространства строк исходной матрицы.

А что в книгах нет ... Это, наверное, общая закономерность: не все простые вещи есть в книгах в явном виде. Потому что один человек одни факты считает простыми и важными, на которые непременно надо обратить внимание читателя, а другой другие. Это довольно субъективно.

[andreyka]

vpb в сообщении #1381489 писал(а):

В самом деле, легко видеть (докажите! это доказывается в два-три предложения), что если одна матрица получена из другой элементарным преобразованием строк, то пространства всевозможных линейных комбинаций строк у этих двух матриц совпадают.

С этим проблем нет. Но нужно найти не какой-нибудь базис линейной оболочки строк, а базисные строки матрицы, то есть подмножество строк исходной матрицы, которые образуют базис.

[Someone]

andreyka в сообщении #1381543 писал(а):

нужно найти не какой-нибудь базис линейной оболочки строк, а базисные строки матрицы, то есть подмножество строк исходной матрицы, которые образуют базис

Приводим матрицу к ступенчатому виду преобразованиями столбцов (со троками не делаем ничего): находим первую строку, в которой есть ненулевые элементы и обнуляем в ней все элементы, начиная со второго; находим первую строку, в которой, начиная со второго, есть ненулевые элементы, и обнуляем в ней все элементы, начиная с третьего; … . Строки исходной матрицы, с которых начинаются "ступеньки" ступенчатой матрицы — базисные.

[ewert]

andreyka в сообщении #1381543 писал(а):

Но нужно найти не какой-нибудь базис линейной оболочки строк, а базисные строки матрицы,

Базисных в сакральном смысле не существует. Бывают только просто базисы.

-- Пн мар 18, 2019 00:02:37 --

Я чуть дополню. Допустим, две первые строчки независимы.
А вдогонку к ним -- ещё и третья. Или, что эквивалентно, 4-я. Но не 6-я и т.д.

Ну и какие из них выбирать?...

Постановка вопроса абсолютно бессмысленна.
Мало того, что с теоретической точки зрения -- но и с сугубо прикладной.
Сочувствую.