Принцип переноса в нестандартном анализе

[ArshakA]

Читаю книжку "Инфинитезимальный анализ" (Гордон).

Утверждение на 24 странице. Для бесконечного стандартного множества $A$ совокупность стандартных элементов $A^{*}$ — не множество

Решение. Допустим, что $A^{*}$ — множество. Так как все его элементы стандартны заключаем: $A^{*}$ конечно.
Но если все элементы конечного множества стандартны, то $A^{*}$ — стандартное множество. Тогда по принципу переноса $A = A^{*}$ и, стало быть, $A$ конечно. Это противоречие.

Мой вопрос относится к последней импликации. Я не понял как был использован принцип переноса

[Someone]

ArshakA в сообщении #1381076 писал(а):

Я не понял как был использован принцип переноса

А как он формулируется?

[ArshakA]

Someone для того чтобы доказать какое-либо утверждение обо всех множествах, достаточно доказать его только для стандартных множеств.

[george66]

Не помню, как у Гордона и компании, но если два стандартных множества содержат одни и те же стандартные элементы, они должны быть равны. Это где-то должно быть доказано в самом начале изложения аксиом. По определению, $A^*$ содержит те же стандартные элементы, что $A$. Если $A^*$ само стандартно (как и $A$), должно быть $A=A^*$

[ArshakA]

george66 может это какое-то следствие принципа переноса..

[george66]

Есть аксиома объёмности: если два множества содержат одинаковые элементы, то они равны. Если применить к ней принцип переноса, видимо, как раз это и получится (если два стандартных множества содержат одинаковые стандартные элементы, то они равны)

[ArshakA]

george66 а, точно. Просто никаких аксиом теории множеств пока не упоминалось. Формализации нестандартных и стандартных объектов в следующей главе.

Цитата:

Не помню, как у Гордона и компании, но если два стандартных множества..

А вы по каким книжкам учились ?

[george66]

Есть книжка Дэвиса "Прикладной нестандартный анализ". Есть тонкая книжечка Успенского (забыл, как называется). Для первого изучения лучше всего подходит книжка Верещагина и Шеня "Языки и исчисления", но там есть ляп (множества, которые они называют внутренними, следует называть стандартными, а настоящих внутренних множеств строго больше). Но хорошего учебника нет, я что-то понял, читая журнальные статьи.
Идеология такая: есть совокупность обычных, "стандартных" множеств, они образуют модель ZF. Есть строго большая совокупность "внутренних" множеств. Даже у обычных множеств в этой модели появляются новые элементы. Например, во множестве натуральных чисел появляются нестандартные бесконечно большие числа. Внутренние множества тоже образуют модель ZF, но для этой модели вдобавок верно некоторое свойство полноты (насыщенность). Например, любой фильтр на любом множестве стандартной модели к чему-нибудь сходится в расширенной модели.

[Munin]

Успенский. Что такое нестандартный анализ?

[george66]

Вообще, для понимания нестандартного анализа очень полезно знать, что такое "элементарное расширение", а это как раз в книжке Верещагина и Шеня хорошо изложено.

[ArshakA]

Munin, george66 спасибо !