2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказать, что группа абелева если a*a=e
Сообщение10.03.2019, 21:06 
Доказать, что группа абелева если
$a^2=e$,
где a - произвольный элемент группы, а e - ее нейтральный элемент.
Задача кажется очень простой, но как я ни пытался - решить не выходит(

 
 
 
 Re: Доказать, что группа абелева если a*a=e
Сообщение10.03.2019, 21:47 
Аватара пользователя
И не выйдет. Это неправда - возьмите в качестве $a$ и $b$ две разные транспозиции на трёх элементах.

 
 
 
 Re: Доказать, что группа абелева если a*a=e
Сообщение10.03.2019, 21:52 
Думаю, задача такая: квадрат любого элемента группы равен единице, доказать, что группа абелева. Это правда. Советую думать про $a=a^{-1}$.

И напишите условие нормально.

 
 
 
 Re: Доказать, что группа абелева если a*a=e
Сообщение10.03.2019, 21:52 
Вместо одиночных элементов можно рассмотреть произведение $(ab)(ab)=e$. Чтобы прийти к нужному равенству $ab=ba$ можно домножить слева на $a$, а справа на $b$ и посмотреть, что получится.

 
 
 
 Re: Доказать, что группа абелева если a*a=e
Сообщение10.03.2019, 22:04 
Misuzu в сообщении #1381033 писал(а):
Вместо одиночных элементов можно рассмотреть произведение $(ab)(ab)=e$. Чтобы прийти к нужному равенству $ab=ba$ можно домножить слева на $a$, а справа на $b$ и посмотреть, что получится.

$(ab)(ab)=e$
$a(ab)(ab)b=aeb$
$(aa)ba(bb)=ab$
$ba=ab$
Черт возьми, как все просто. Уважаемый @Misuzu, как вы пришли к такому ходу? Поделитесь интуицией, а то я себя безнадежным чувствую.
И еще интересно утверждение для любой группы (не обязательно абелевой):
$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ - якобы очевидно. Можете поведать эту очевидность?

update:
Теперь и сам разобрался:
$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$
$(ab)(ab)^{-1}=(ab)b^{-1}a^{-1}$
$e=a(bb^{-1})a^{-1}$
$e=aa^{-1}$

 
 
 
 Re: Доказать, что группа абелева если a*a=e
Сообщение10.03.2019, 22:05 
wowka19 в сообщении #1381038 писал(а):
Misuzu в сообщении #1381033 писал(а):
Вместо одиночных элементов можно рассмотреть произведение $(ab)(ab)=e$. Чтобы прийти к нужному равенству $ab=ba$ можно домножить слева на $a$, а справа на $b$ и посмотреть, что получится.

$(ab)(ab)=e$
$a(ab)(ab)b=aeb$
$(aa)ba(bb)=ab$
$ba=ab$
Черт возьми, как все просто. Уважаемый @Misuzu, как вы пришли к такому ходу? Поделитесь интуицией, а то я себя безнадежным чувствую.
И еще интересно утверждение для любой группы (не обязательно абелевой):
$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ - якобы очевидно. Можете поведать эту очевидность?

У нас в универе были такие задачи. Интуиция у меня не очень хорошая.
Если справа выражение для обратного к $ab$, может, обе части домножить на $ab$?

 
 
 
 Re: Доказать, что группа абелева если a*a=e
Сообщение10.03.2019, 22:13 
wowka19
wowka19 в сообщении #1381038 писал(а):
$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ -

Вот совсем неинтересно. Попытки решения где?

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение10.03.2019, 22:13 
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.


-- 11.03.2019, 00:14 --

wowka19
Просьба также нормально сформулировать задачу в стартовом посте. Текущая формулировка оставляет желать лучшего.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение10.03.2019, 22:39 
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group