Доказать, что группа абелева если a*a=e

[wowka19]

Доказать, что группа абелева если
$a^2=e$,
где a - произвольный элемент группы, а e - ее нейтральный элемент.
Задача кажется очень простой, но как я ни пытался - решить не выходит(

[mihaild]

И не выйдет. Это неправда - возьмите в качестве $a$ и $b$ две разные транспозиции на трёх элементах.

[Slav-27]

Думаю, задача такая: квадрат любого элемента группы равен единице, доказать, что группа абелева. Это правда. Советую думать про $a=a^{-1}$.

И напишите условие нормально.

[Misuzu]

Вместо одиночных элементов можно рассмотреть произведение $(ab)(ab)=e$. Чтобы прийти к нужному равенству $ab=ba$ можно домножить слева на $a$, а справа на $b$ и посмотреть, что получится.

[wowka19]

Misuzu в сообщении #1381033 писал(а):

Вместо одиночных элементов можно рассмотреть произведение $(ab)(ab)=e$. Чтобы прийти к нужному равенству $ab=ba$ можно домножить слева на $a$, а справа на $b$ и посмотреть, что получится.

$(ab)(ab)=e$
$a(ab)(ab)b=aeb$
$(aa)ba(bb)=ab$
$ba=ab$
Черт возьми, как все просто. Уважаемый @Misuzu, как вы пришли к такому ходу? Поделитесь интуицией, а то я себя безнадежным чувствую.
И еще интересно утверждение для любой группы (не обязательно абелевой):
$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ - якобы очевидно. Можете поведать эту очевидность?

update:
Теперь и сам разобрался:
$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$
$(ab)(ab)^{-1}=(ab)b^{-1}a^{-1}$
$e=a(bb^{-1})a^{-1}$
$e=aa^{-1}$

[Misuzu]

wowka19 в сообщении #1381038 писал(а):

Misuzu в сообщении #1381033 писал(а):

Вместо одиночных элементов можно рассмотреть произведение $(ab)(ab)=e$. Чтобы прийти к нужному равенству $ab=ba$ можно домножить слева на $a$, а справа на $b$ и посмотреть, что получится.

$(ab)(ab)=e$
$a(ab)(ab)b=aeb$
$(aa)ba(bb)=ab$
$ba=ab$
Черт возьми, как все просто. Уважаемый @Misuzu, как вы пришли к такому ходу? Поделитесь интуицией, а то я себя безнадежным чувствую.
И еще интересно утверждение для любой группы (не обязательно абелевой):
$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ - якобы очевидно. Можете поведать эту очевидность?

У нас в универе были такие задачи. Интуиция у меня не очень хорошая.
Если справа выражение для обратного к $ab$, может, обе части домножить на $ab$?

[Lia]

wowka19

wowka19 в сообщении #1381038 писал(а):

$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ -

Вот совсем неинтересно. Попытки решения где?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

-- 11.03.2019, 00:14 --

wowka19
Просьба также нормально сформулировать задачу в стартовом посте. Текущая формулировка оставляет желать лучшего.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»