Дифференцирование уравнения эллиптической кривой

[Misuzu]

Известно, что эллиптическая кривая сингулярна, если существует точка на ней, в которой обе частные производные обращаются в нуль. Я пытаюсь восстановить старые знания и оказалось, что я забыл, как вычислять такие производные.

Есть кривая ${y}^2={x}^{3} + {x}^{2}$. В книге даны уже вычисленные частные производные. Я хочу восстановить шаги для вычисления этих производных.

Как мне помнится, такие функции называются заданными неявно. Я записал уравнение эллиптической кривой как $F(x, y)={y}^{2}-{x}^{3}-{x}^{2}=0$. По механической памяти я нашел производные ${F'}_{x}=-3{x}^{2}-2x$, ${F'}_{y}=2y$. Соответственно, сингулярная точка на кривой это точка $(0,0)$

Напомните, пожалуйста, как вычисляются частные производные неявной функции? Я хочу делать это с пониманием, а не механически. Почему мы можем просто взять и продифференцировать это выражение по нужной переменной, не выполняя никаких дополнительных преобразований? Меня смущает то, что есть еще формула $y'=-\frac{{F'}_{x}}{{F'}_{y}}$

[Ms-dos4]

Misuzu
Чтобы не смущаться, вы определитесь, что вам нужно, ${{\partial F} \over {\partial x}}$ или ${{dy} \over {dx}}$, это абсолютно разные вещи. А сама формула получается элементарно из равенства полного дифференциала нулю
$dF = {{\partial F} \over {\partial x}}dx + {{\partial F} \over {\partial y}}dy = 0$ $

[Misuzu]

Ms-dos4 в сообщении #1380940 писал(а):

Misuzu
Чтобы не смущаться, вы определитесь, что вам нужно, ${{\partial F} \over {\partial x}}$ или ${{dy} \over {dx}}$, это абсолютно разные вещи. А сама формула получается элементарно из равенства полного дифференциала нулю
$dF = {{\partial F} \over {\partial x}}dx + {{\partial F} \over {\partial y}}dy = 0$ $

Спасибо, стало понятнее. Продолжу еще читать Фихтенгольца по этой теме.

[vicvolf]

Почему сначала задаем вопрос, а потом читаем Фихтенгольца по этой теме. Это методически неверно. Если бы Вы прочитали ранее, то и вопроса бы не было.