Исследовать гиперболу

[Anton_Peplov]

Известно, что график функции $y = \dfrac{1}{x}$ - гипербола. Требуется найти её фокусы, большие и малые полуоси.

Хорошо бы воспользоваться каноническим уравнением гиперболы. Но оно записывается в системе координат $x^\prime Oy^\prime$, где ось $Ox^\prime$ проходит через фокусы. Не зная фокусов, не знаю, в какую систему координат переходить.

Интуиция говорит следующее.

1. Гипербола $y = \dfrac{1}{x}$ симметрична относительно замены $x \to -x, y \to -y$, значит, $(0,0)$ - её центр;
2. Фокусы будут лежать на той же прямой, что и точки $M_1, M_2$ максимального сближения гиперболы с центром.
3. Вроде бы большая полуось - и есть отрезок $M_1M_2$.

От этого уже можно отталкиваться, ибо легко получить, что $M_1 = (1, 1)$ и $M_2 = (-1, -1)$. Проведя через них прямую, получим ось $Ox^\prime$ и из неё $Oy^\prime$, далее можно переводить уравнение $y = \dfrac{1}{x}$ в эту систему координат и приводить к каноническому виду.

Однако:
а) пункты 1-3 получены рукомахательством, не знаю, как получить их строго.
б) меня не покидает ощущение, что я чешу правое ухо левой ногой, а исходная задача должна решаться проще, и, может быть, вообще в уме. Кажется, я пропустил в ангеме какую-то важную теорему (или не одну). Заглянул в пару учебников, ничего подходящего не нашёл.

[Xaositect]

Можно же сразу приводить $xy = 1$ к каноническому виду. Приведение ведь даст не только новое уравнение, но и нужную замену координат.

[Anton_Peplov]

Найти из исходного уравнения инварианты, из инвариантов записать каноническое уравнение.
Видимо, это и есть та тема, которую я в своё время упустил из виду.

[Someone]

Можно сделать поворот осей на угол $\varphi$:

$$\begin{cases}x=x'\cos\varphi-y'\sin\varphi,\\ y=x'\sin\varphi+y'\cos\varphi.\end{cases}$$

И найти угол $\varphi$ из условия, что коэффициент при $x'y'$ равен $0$.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1380769 писал(а):

Хорошо бы воспользоваться каноническим уравнением гиперболы. Но оно записывается в системе координат $x^\prime Oy^\prime$, где ось $Ox^\prime$ проходит через фокусы. Не зная фокусов, не знаю, в какую систему координат переходить.

Не обязательно знать фокусы. Оси повёрнутой (собственной) системы координат совпадают с линиями симметрии гиперболы, а их вы моментально укажете сами.

Ну и замеченный вами факт (про вершины гиперболы $M_1,M_2$) тоже можно использовать, только смелее :-)

[vicvolf]

Anton_Peplov в сообщении #1380769 писал(а):

Известно, что график функции $y = \dfrac{1}{x}$ - гипербола. Требуется найти её фокусы, большие и малые полуоси.

Хорошо бы воспользоваться каноническим уравнением гиперболы. Но оно записывается в системе координат $x^\prime Oy^\prime$, где ось $Ox^\prime$ проходит через фокусы. Не зная фокусов, не знаю, в какую систему координат переходить.

Интуиция говорит следующее.

Зачем интуиция, когда есть нормальный учебник по аналитической геометрии и линейной алгебры Александрова 1979 г. или курс Федорчука 1990 г.