Диск и конус

[pogulyat_vyshel]

Тонкий однородный диск радиуса $r$ и массы $m$, центр $O$ которого неподвижен, обкатывает без проскальзывания неподвижный конус с углом $2\alpha$ при вершине $O$; ось конуса $OM$ вертикальна. Найти момент сил реакции конуса относительно точки $O$, если в начальный момент диску сообщена угловая скорость равная по модулю $\omega_0$.

[fred1996]

Какая угловая скорость имеется ввиду, по оси X, Z, или общая? А может по оси OM? Они все могут выразиться через кинематическую связь, но хотолось бы определенности.

[pogulyat_vyshel]

Имеется в виду угловая скорость твердого тела (диска)относительно инерциальной системы отсчета связанной с конусом, координатные оси ни при чем

[AnatolyBa]

Чисто формально у меня получилось

(Оффтоп)

$\frac{1}{4} m r^2 \omega_0^2 \tg(\alpha)$

Хотя терзают сомнения, что опять чего-то упустил.
И еще - не могу представить этого движения. Кажется, диск куда-нибудь улетит.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Да, это верный ответ, и момент направлен вдоль горизонтальной оси ,лежащей в плоскости диска. Это классическая задача, она в разных вариантах встречается в учебниках, эта версия из физтеховского задачника Пятницкого 11.84 -- только я немного изменил вопрос, Пятницкий просил найти равнодействующую сил реакции и точку ее приложения. Другая популярная версия этой задачи такая: известен модуль ускорения точки ребра диска, которая лежит в данный момент на конусе, найти угловую скорость диска в данный момент.

-- 07.03.2019, 13:13 --

(Оффтоп)

О! а тут и разбор этой задачи имеется https://www.coursera.org/lecture/dynamics1/zadacha-o-kachienii-diska-po-konusu-MShEG
с методической точки зрения неудачный, по моему мнению

[cloud_bear]

В принципе, такую задачу можно давать в школе. Кинетический момент направлен все время вдоль образующей конуса. Его производная даст момент сил. При движении меняется только горизонтальная часть момента $1/4mr^2 \sin (\alpha)$, она вращается с какой-то угловой скоростью. На самом деле, это будет скорость прецессии, которая находится из разложения $\omega_0$ вдоль вертикальной оси и оси $z$ и правильный ответ воспроизводится.
Но я не понимаю, почему для нахождения угловой скорости вращения момента надо разлагать именно по указанным осям. Я пытался придумать простое геометрическое объяснение, но у меня не получилось, траектория точек диска в пространстве уж больно причудливая.