Алгебраические операции. Полугруппы.

[lanvandance]

Ассоциативна ли операция $\ast$ на множестве $\mathrm{M}$, если
$\mathsf{M = }$ $\mathbb{Z}$, $\mathsf{x}$ $\ast$ $\mathsf{y}$ = ${(x^2+y^2)}$

Моё решение:
${(a^2 + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab}$

${(x^2+2xy+y^2-2xy)*z = zx^2 + 2xyz + y^2z-2xyz}$
${x*(y^2 + 2yz + z^2 - 2yz) = xy^2 + 2yzx + z^2x - 2yzx}$

В чем моя ошибка? Почему операция $\ast$ на множестве M - ассоциативна?

[alcoholist]

lanvandance в сообщении #1380191 писал(а):

${(a^2 + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab}$

зачем? почему сумма квадратов не устраивает

[lanvandance]

alcoholist в сообщении #1380195 писал(а):

lanvandance в сообщении #1380191 писал(а):

${(a^2 + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab}$

зачем? почему сумма квадратов не устраивает

Я делал так и так.

[alcoholist]

проще:
$(x*y)*z =(x^2+y^2)*z =? $
$x*(y*z) = x*(y^2 + z^2)=?$

-- Ср мар 06, 2019 19:41:27 --

ведь звездочка известна, и это не умножение

[lanvandance]

alcoholist в сообщении #1380197 писал(а):

проще:
$(x*y)*z =(x^2+y^2)*z =? $
$x*(y*z) = x*(y^2 + z^2)=?$

-- Ср мар 06, 2019 19:41:27 --

ведь звездочка известна, и это не умножение

${(x^2+y^2)*z = (x^2+y^2)^2 + z^2}$
${x*(y^2+z^2) = x^2+(y^2+z^2)^2}$

Это имеется ввиду? Они ведь не являются ассоциативными.

[alcoholist]

lanvandance в сообщении #1380201 писал(а):

Это имеется ввиду?

Именно так. Операция не ассоциативна.

-- Ср мар 06, 2019 20:44:52 --

не «они», а она))

[lanvandance]

alcoholist в сообщении #1380204 писал(а):

lanvandance в сообщении #1380201 писал(а):

Это имеется ввиду?

Именно так. Операция не ассоциативна.

-- Ср мар 06, 2019 20:44:52 --

не «они», а она))

Значит Кострикин ошибся?

[alcoholist]

lanvandance в сообщении #1380191 писал(а):

Ассоциативна ли операция

[Munin]

Если бы операция была бы $x\ast y=\sqrt{(x^2+y^2)},$ она была бы ассоциативна.

[--mS--]

alcoholist в сообщении #1380206 писал(а):

lanvandance в сообщении #1380191 писал(а):

Ассоциативна ли операция

Ответ в задачнике "да", оттого и вопрос ТС.

[alcoholist]

--mS-- в сообщении #1380329 писал(а):

Ответ в задачнике "да", оттого и вопрос ТС.

понятно

[Munin]

Забавно. У меня два издания: 2001 "третье" и 2009 "новое, исправленное". Задача номер 54.1 выглядит совершенно одинаково:

Цитата:

54.1. Ассоциативна ли операция $\ast$ на множестве $M,$ если


$$\begin{aligned} \text{а})\,\, & M=\mathbb{N},\quad x\ast y=x^y; & \text{б})\,\, & M=\mathbb{N},\quad x\ast y=\operatorname{\text{НОД}}(x,y); \\ \text{в})\,\, & M=\mathbb{N},\quad x\ast y=2xy; & \text{г})\,\, & M=\mathbb{Z},\quad x\ast y=x-y; \\ \text{д})\,\, & M=\mathbb{Z},\quad x\ast y=x^2+y^2; & \text{е})\,\, & M=\mathbb{R},\quad x\ast y=\sin x\cdot\sin y; \\ \text{ж})\,\, & M=\mathbb{R}^\ast,\quad x\ast y=x\cdot y^{x/|x|}? \end{aligned}$$

Однако ответы приведены разные:

2001-й год писал(а):

54.1. а) Нет. б) Да. в) Нет. г) Нет. д) Да. е) Нет. ж) Да.

2009-й год писал(а):

54.1. а) Нет. б) Да. в) Да. г) Нет. д) Нет. е) Нет. ж) Да.

Старых изданий у меня нет, но я встречал ошибки, возникающие в книгах при их перевёрстке в LaTeX.