Сдвиг "затухающих" последовательностей

[nullset]

Известно, что $a_n, b_n, n\in \mathbf{Z}$ - числовые последовательности, причем
$\sum\limits_{n=-\infty}^\infty a_n^2<\infty$ и $\sum\limits_{n=-\infty}^\infty b_n^2<\infty.$ (1)
$f(x), x\in \mathbf{R}$ - непрерывная функция, такая, что $\sum\limits_{n=-\infty}^\infty f(a_n+b_n)<\infty.$

Поскольку из (1) следует, что $a_n \to 0$ и $b_n \to 0$ при $n \to \infty$ или при $n \to -\infty$, то
${\lim}\limits_{m \to \infty} \sum\limits_{n=-\infty}^\infty f(a_n+b_n_+_m)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty (f(a_n)+f(b_n))$ (2)

(2) мне кажется верным, поскольку последовательности $a_n$ и $b_n$ "затухающие" и при $m \to \infty$ $b_n_+_m$ неограниченно сдвигается относительно $a_n$. Действительно ли верно (2) и если да, то помогите мне, пожалуйста, это строго доказать.

[ewert]

nullset писал(а):

Известно, что $a_n, b_n, n\in \mathbf{Z}$ - числовые последовательности, причем
$\sum\limits_{n=-\infty}^\infty a_n^2<\infty$ и $\sum\limits_{n=-\infty}^\infty b_n^2<\infty.$ (1)
$f(x), x\in \mathbf{R}$ - непрерывная функция, такая, что $\sum\limits_{n=-\infty}^\infty f(a_n+b_n)<\infty.$

Поскольку из (1) следует, что $a_n \to 0$ и $b_n \to 0$ при $n \to \infty$ или при $n \to -\infty$, то
${\lim}\limits_{m \to \infty} \sum\limits_{n=-\infty}^\infty f(a_n+b_n_+_m)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty (f(a_n)+f(b_n))$ (2)

(2) мне кажется верным, поскольку последовательности $a_n$ и $b_n$ "затухающие" и при $m \to \infty$ $b_n_+_m$ неограниченно сдвигается относительно $a_n$. Действительно ли верно (2) и если да, то помогите мне, пожалуйста, это строго доказать.

Утверждение верно по идее, однако из $\sum\limits_{n=-\infty}^\infty f(a_n+b_n)<\infty$ доказать совершенно точно ничего не получится. Хотя бы потому, что оценка сверху ровно ничего не говорит об оценке снизу.

[nullset]

Пусть еще дополнительно известно, что $f(0)=0$, хотя это вроде следует из $\sum\limits_{n=-\infty}^\infty f(a_n+b_n)<\infty $ ?

Вот моя попытка доказательства.

Обозначим $c_n=a_n+b_n_+_m$
Поскольку $a_n \to 0$ при $n \to -\infty$, то для любого как угодно малого $\varepsilon>0$ существует такое $N_1$, что $|a_n|<\varepsilon$ при $n \leqslant N_1$.

Поскольку $b_n_+_m \to 0$ при $n \to \infty$ и некотором $m$, то существует такое $N_2$, что $|b_n_+_m|<\varepsilon$ при $n \geqslant N_2$.

Можно взять теперь такое $m$, чтоб $N_1=N_2=N$. Тогда

$|c_n-b_n_+_m|< \varepsilon$ при $n<N$
$|c_n-a_n|< \varepsilon$ при $n>N$
$|c_n|< 2\varepsilon$ при $n=N$

Если теперь $\varepsilon \to 0$, то с учетом непрерывности функции $f(x)$ и $f(0)=0$ следует требуемое утверждение.

Или нет?

[Henrylee]

У Вас $N$ зависит от $m$, $m$ вообще фиксировано, а рассуждения

nullset писал(а):

$|c_n-b_n_+_m|< \varepsilon$ при $n<N$
$|c_n-a_n|< \varepsilon$ при $n>N$
$|c_n|< 2\varepsilon$ при $n=N$

Если теперь $\varepsilon \to 0$, то с учетом непрерывности функции $f(x)$ и $f(0)=0$ следует требуемое утверждение.

совершенно непонятны.