2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Странный интеграл.
Сообщение02.03.2019, 23:06 
Добрый вечер! Не получается справиться, буду признателен, если подскажете идею!

$\displaystyle\int\dfrac{\sqrt{\sin(x)}}{\sqrt{\cos^9x}}\;dx$

Пробовал универсальную подстановку $t=\tg(x/2)$, получился интеграл жуткий, а именно $\displaystyle\int\sqrt{\dfrac{2t}{(1-t^2)^9}}\cdot (1+t^2)^3\;dt$

Пробовал искусственный трюк, а после замену:

$\displaystyle\int\dfrac{\sqrt{\sin(x)}}{\sqrt{\cos^9x}}\;dx=\displaystyle\int\dfrac{\sin(x)}{\sqrt{\sin(x)\cos^9x}}\;dx$

Замена $t=\cos x$, она привела к результату:

$-\displaystyle\int\dfrac{dt}{\sqrt[4]{1-t^2}\cdot t^{9/2}}}dt$

Вроде как интеграл от дифф. бинома, но не уж-то нельзя здесь проще решить, есть ли альтернативы?

 
 
 
 Re: Странный интеграл.
Сообщение02.03.2019, 23:08 
Интеграл-то, поди-кось, определенный был?

 
 
 
 Re: Странный интеграл.
Сообщение02.03.2019, 23:11 
Otta в сообщении #1379442 писал(а):
Интеграл-то, поди-кось, определенный был?

Вообще говоря, да, а если определенный, то от этого будет считать проще?)

 
 
 
 Re: Странный интеграл.
Сообщение02.03.2019, 23:13 
mr.vopros в сообщении #1379443 писал(а):
Вообще говоря, да, а если определенный, то от этого будет считать проще?)

Разумеется.

 
 
 
 Re: Странный интеграл.
Сообщение02.03.2019, 23:22 
Вот такие пределы... $\displaystyle\int_0^{\pi/4}\dfrac{\sqrt{\sin(x)}}{\sqrt{\cos^9x}}\;dx$

 
 
 
 Re: Странный интеграл.
Сообщение02.03.2019, 23:38 
А вообще я не проверяла, вроде он и так считается. Попробуйте сами. Домножьте на нужное, чтобы в числителе состряпался синус двойного аргумента, загоните под дифференциал, сделайте соответствующую замену... вроде получится. А?

 
 
 
 Re: Странный интеграл.
Сообщение03.03.2019, 00:00 
В знаменателе из-под корня много чего выносится. После этого замена становится почти очевидной.

 
 
 
 Re: Странный интеграл.
Сообщение03.03.2019, 00:05 
А, да, тоже хорошо.

 
 
 
 Re: Странный интеграл.
Сообщение03.03.2019, 00:50 
$I=\displaystyle\int\dfrac{\sqrt{\sin(x)}}{\sqrt{\cos^9x}}\;dx=\displaystyle\int\dfrac{\sin(x)}{\sqrt{\sin(x)\cos^{9}x}}\;dx=\displaystyle\int\dfrac{2\sin(x)\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)\cos^{11}x}}\;dx=$

$=\displaystyle\int\dfrac{2\sin(x)\cos(x)}{\sqrt{0,5\sin(2x)\cos^{10}x}}\;dx=\displaystyle\int\dfrac{\sin(2x)}{0,125\sqrt{\sin(2x)((1+\cos(2x)))^5}}\;dx=$

$=8\displaystyle\int\dfrac{\sin(2x)}{\sqrt{\sin(2x)((1+\cos(2x)))^5}}\;dx$

$y=1+\cos(2x)$

$I=-4\displaystyle\int\dfrac{dy}{\sqrt{\sqrt{1-(y-1)^2}\cdot y^5}}$

Пока что не выходит...

-- 03.03.2019, 00:52 --

mr.vopros в сообщении #1379451 писал(а):
Вот такие пределы... $\displaystyle\int_0^{\pi/4}\dfrac{\sqrt{\sin(x)}}{\sqrt{\cos^9x}}\;dx$

$\displaystyle\int_0^{\pi/4}\dfrac{\sqrt{\sin(x)}}{\sqrt{\cos^9x}}\;dx=\displaystyle\int_0^{\pi/4}\dfrac{\sqrt{\tg(x)}}{\cos^4x}\;dx$

Мне это мало что дает, к сожалению...

-- 03.03.2019, 00:54 --

Хотя...
$\displaystyle\int_0^{\pi/4}\dfrac{\sqrt{\tg(x)}}{\cos^4x}\;dx=\displaystyle\int_0^{\pi/4}\dfrac{\sqrt{\tg(x)}d(tg(x))}{\cos^2x}=\displaystyle\int_0^{\pi/4}\dfrac{\sqrt{\tg(x)}d(tg(x))}{\cos^2x}=$
$\displaystyle\int_0^{\pi/4}(1+\tg^2x){\sqrt{\tg(x)}d(tg(x))}$ :facepalm:

Спасибо!

-- 03.03.2019, 01:22 --

Можно ли считать такой интеграл нестандартным? Кстати, как можно было сразу догадаться до замены $y=\tg(x)$, ведь она бы решила все вопросы изначально, если под нее подогнать исходную подынтегральную функцию.

 
 
 
 Re: Странный интеграл.
Сообщение03.03.2019, 04:19 
Аватара пользователя
mr.vopros в сообщении #1379440 писал(а):
Пробовал универсальную подстановку $t=\tg(x/2)$

Это для рациональных функций $R(\cos x,\sin x)$.

mr.vopros в сообщении #1379471 писал(а):
Можно ли считать такой интеграл нестандартным?

После замены -- сумма двух табличных.

 
 
 
 Re: Странный интеграл.
Сообщение03.03.2019, 11:31 
mr.vopros в сообщении #1379471 писал(а):
Можно ли считать такой интеграл нестандартным?

После замены -- сумма двух табличных.[/quote]
Да, но ведь ничто не предвещало именно такую замену! Как можно было до нее догадаться?

 
 
 
 Re: Странный интеграл.
Сообщение03.03.2019, 11:45 
Аватара пользователя
mr.vopros в сообщении #1379514 писал(а):
ничто не предвещало именно такую замену!

Удачная замена -- это искусство. Нарабатывается решением упражнений.

 
 
 
 Re: Странный интеграл.
Сообщение03.03.2019, 13:01 
Аватара пользователя
mr.vopros в сообщении #1379514 писал(а):
Да, но ведь ничто не предвещало именно такую замену! Как можно было до нее догадаться?
Ну почему же? Известны рекомендации для вычисления интегралов вида $$\int\sin^max\cos^nax\,\mathrm dx$$ с целыми $m$ и $n$. В частности, если сумма $m+n$ чётная и отрицательная, то одна из рекомендуемых — подстановка $\tg ax=t$. Здесь ситуация именно такая, только всё стоит под корнем. Но попробовать можно.

 
 
 
 Re: Странный интеграл.
Сообщение03.03.2019, 13:56 
Someone в сообщении #1379531 писал(а):
В частности, если сумма $m+n$ чётная и отрицательная, то одна из рекомендуемых — подстановка $\tg ax=t$. Здесь ситуация именно такая, только всё стоит под корнем. Но попробовать можно.

Спасибо! А где можно почитать про остальные рекомендации? (когда нечетная положительная, когда четная положительная, нечетная отрицательная?)
А еще, правильно ли я понимаю, что для интегралов вида $\displaystyle\int\sin^max\cos^nax\,\mathrm dx$, где $m,n$ - рациональные - нет общих рекомендаций? (в таких случаях стоит перепробовать рекомендации при целых $m,n$?

 
 
 
 Re: Странный интеграл.
Сообщение03.03.2019, 14:03 
Аватара пользователя
mr.vopros в сообщении #1379543 писал(а):
А где можно почитать про остальные рекомендации?
Например, в учебнике математического анализа.

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group