Значение цепной дроби

[versham]

Имеется цепная дробь такого вида:
$ \[ [1; 1; 2; \frac{1}{2}; 3; \frac{1}{3}; \dots] = 1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3+\dots}}}} \] $

Ее численное значение примерно $1.774491$. Скорее всего, это число трансцедентно. Но может оно выражается через какие-то известные константы?
Вообще, не нашел нигде в литературе, как по элементам цепной дроби восстанавливать ее значение.

[iifat]

Собственно, никак. В общем случае.
Как вариант: расписать рекуррентные формулы для числителей и знаменателей попробовать выразить явно, поделить одно на другое и вычислить предел. Если всё получится, чего, как понимаю, вовсе не гарантируется, то будет вам щастье.

[Andrey A]

Взгляните на дробь, как на отношение континуант $\dfrac{[a_1,a_2,a_3,...,a_n]}{[a_2,a_3,...,a_n]}$. Эйлер трактует континуанту как сумму одночленов, образованных вычеркиванием всех возможных сочетаний пар соседних элементов из одночлена $a_1a_2a_3...a_n$, включая нулевую пару. К моменту четного $n$ в Вашей дроби произведение элементов равно единице, как в Фибоначчи, и произведения соседних элементов тоже единицы, но не всех. То есть в числителе образовывается $F_{2n}$ плюс/минус что-то, в знаменателе — $F_{2n-1}$ плюс/минус что-то. Исходите далее из точки золотого сечения.