Странный интеграл.

[mr.vopros]

Добрый вечер! Не получается справиться, буду признателен, если подскажете идею!

$\displaystyle\int\dfrac{\sqrt{\sin(x)}}{\sqrt{\cos^9x}}\;dx$

Пробовал универсальную подстановку $t=\tg(x/2)$, получился интеграл жуткий, а именно $\displaystyle\int\sqrt{\dfrac{2t}{(1-t^2)^9}}\cdot (1+t^2)^3\;dt$

Пробовал искусственный трюк, а после замену:

$\displaystyle\int\dfrac{\sqrt{\sin(x)}}{\sqrt{\cos^9x}}\;dx=\displaystyle\int\dfrac{\sin(x)}{\sqrt{\sin(x)\cos^9x}}\;dx$

Замена $t=\cos x$, она привела к результату:

$-\displaystyle\int\dfrac{dt}{\sqrt[4]{1-t^2}\cdot t^{9/2}}}dt$

Вроде как интеграл от дифф. бинома, но не уж-то нельзя здесь проще решить, есть ли альтернативы?

[Otta]

Интеграл-то, поди-кось, определенный был?

[mr.vopros]

Otta в сообщении #1379442 писал(а):

Интеграл-то, поди-кось, определенный был?

Вообще говоря, да, а если определенный, то от этого будет считать проще?)

[Otta]

mr.vopros в сообщении #1379443 писал(а):

Вообще говоря, да, а если определенный, то от этого будет считать проще?)

Разумеется.

[mr.vopros]

Вот такие пределы... $\displaystyle\int_0^{\pi/4}\dfrac{\sqrt{\sin(x)}}{\sqrt{\cos^9x}}\;dx$

[Otta]

А вообще я не проверяла, вроде он и так считается. Попробуйте сами. Домножьте на нужное, чтобы в числителе состряпался синус двойного аргумента, загоните под дифференциал, сделайте соответствующую замену... вроде получится. А?

[Jnrty]

В знаменателе из-под корня много чего выносится. После этого замена становится почти очевидной.

[Otta]

А, да, тоже хорошо.

[mr.vopros]

$I=\displaystyle\int\dfrac{\sqrt{\sin(x)}}{\sqrt{\cos^9x}}\;dx=\displaystyle\int\dfrac{\sin(x)}{\sqrt{\sin(x)\cos^{9}x}}\;dx=\displaystyle\int\dfrac{2\sin(x)\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)\cos^{11}x}}\;dx=$

$=\displaystyle\int\dfrac{2\sin(x)\cos(x)}{\sqrt{0,5\sin(2x)\cos^{10}x}}\;dx=\displaystyle\int\dfrac{\sin(2x)}{0,125\sqrt{\sin(2x)((1+\cos(2x)))^5}}\;dx=$

$=8\displaystyle\int\dfrac{\sin(2x)}{\sqrt{\sin(2x)((1+\cos(2x)))^5}}\;dx$

$y=1+\cos(2x)$

$I=-4\displaystyle\int\dfrac{dy}{\sqrt{\sqrt{1-(y-1)^2}\cdot y^5}}$

Пока что не выходит...

-- 03.03.2019, 00:52 --

mr.vopros в сообщении #1379451 писал(а):

Вот такие пределы... $\displaystyle\int_0^{\pi/4}\dfrac{\sqrt{\sin(x)}}{\sqrt{\cos^9x}}\;dx$

$\displaystyle\int_0^{\pi/4}\dfrac{\sqrt{\sin(x)}}{\sqrt{\cos^9x}}\;dx=\displaystyle\int_0^{\pi/4}\dfrac{\sqrt{\tg(x)}}{\cos^4x}\;dx$

Мне это мало что дает, к сожалению...

-- 03.03.2019, 00:54 --

Хотя...
$\displaystyle\int_0^{\pi/4}\dfrac{\sqrt{\tg(x)}}{\cos^4x}\;dx=\displaystyle\int_0^{\pi/4}\dfrac{\sqrt{\tg(x)}d(tg(x))}{\cos^2x}=\displaystyle\int_0^{\pi/4}\dfrac{\sqrt{\tg(x)}d(tg(x))}{\cos^2x}=$
$\displaystyle\int_0^{\pi/4}(1+\tg^2x){\sqrt{\tg(x)}d(tg(x))}$

Спасибо!

-- 03.03.2019, 01:22 --

Можно ли считать такой интеграл нестандартным? Кстати, как можно было сразу догадаться до замены $y=\tg(x)$, ведь она бы решила все вопросы изначально, если под нее подогнать исходную подынтегральную функцию.

[alcoholist]

mr.vopros в сообщении #1379440 писал(а):

Пробовал универсальную подстановку $t=\tg(x/2)$

Это для рациональных функций $R(\cos x,\sin x)$.

mr.vopros в сообщении #1379471 писал(а):

Можно ли считать такой интеграл нестандартным?

После замены -- сумма двух табличных.

[mr.vopros]

mr.vopros в сообщении #1379471 писал(а):

Можно ли считать такой интеграл нестандартным?

После замены -- сумма двух табличных.[/quote]
Да, но ведь ничто не предвещало именно такую замену! Как можно было до нее догадаться?

[thething]

mr.vopros в сообщении #1379514 писал(а):

ничто не предвещало именно такую замену!

Удачная замена -- это искусство. Нарабатывается решением упражнений.

[Someone]

mr.vopros в сообщении #1379514 писал(а):

Да, но ведь ничто не предвещало именно такую замену! Как можно было до нее догадаться?

Ну почему же? Известны рекомендации для вычисления интегралов вида

$$\int\sin^max\cos^nax\,\mathrm dx$$

с целыми $m$ и $n$. В частности, если сумма $m+n$ чётная и отрицательная, то одна из рекомендуемых — подстановка $\tg ax=t$. Здесь ситуация именно такая, только всё стоит под корнем. Но попробовать можно.

[mr.vopros]

Someone в сообщении #1379531 писал(а):

В частности, если сумма $m+n$ чётная и отрицательная, то одна из рекомендуемых — подстановка $\tg ax=t$. Здесь ситуация именно такая, только всё стоит под корнем. Но попробовать можно.

Спасибо! А где можно почитать про остальные рекомендации? (когда нечетная положительная, когда четная положительная, нечетная отрицательная?)
А еще, правильно ли я понимаю, что для интегралов вида $\displaystyle\int\sin^max\cos^nax\,\mathrm dx$, где $m,n$ - рациональные - нет общих рекомендаций? (в таких случаях стоит перепробовать рекомендации при целых $m,n$?

[Someone]

mr.vopros в сообщении #1379543 писал(а):

А где можно почитать про остальные рекомендации?

Например, в учебнике математического анализа.