Число равнобедренных треугольников

[torbich]

Помогите решить задачку по комбинаторной геометрии:

Какое наибольшее число равнобедренных треугольников могут образовать 9 прямых на плоскости, таких, что никакие 2 их них не параллельны и никакие 3 не проходят через одну точку?

[ИСН]

torbich писал(а):

таких, что никакие 2 их них не параллельны и никакие 3 не проходят через одну точку

короче это выражается словами "общего положения".
А задача хорошая.
(Ответа у меня нет.)
Всего треугольников столько, сколько троек прямых ($C\limits_9^3$). А равнобедренных...
...кидаем 9 векторов в верхней полуплоскости (это нормали), и сколько из них являются биссектрисами между двумя другими, столько раз нам и будет счастье - так, что ли?

Добавлено спустя 2 минуты 29 секунд:

Да, и сколько раз они ими (биссектрисами) являются...

[torbich]

К сожалению, решения задачи для 9 прямых я и сам не знаю.

Что я знаю об этой задаче (для произвольного n):
1) оценка сверху. Каждая прямая можеть быть основанием не более, чем \left[\frac{n-1}2\right] равнобедренных треугольников (равнобедренные треугольники, основания которых лежат на данной прямой, разбивают оставшиеся n-1 прямые на пары). Поэтому всего не более, чем n\left[\frac{n-1}2\right] равнобедренных треугольников.

Для n=9 таким образом получается оценка сверху в 36.

2) оценка снизу. Если n\not\vdots 3, то пример строится очень просто: берем n прямых, которые проходят через одну точку и разбивают плоскость на равные углы. Параллельно переносим их, чтобы получить прямые общего положения - получаем пример для оценки, приведенной выше.

Если n\vdots 3, то в примере, приведенном выше, получаются равносторонние треугольники, и каждый из них считается по 3 раза (каждая сторона - основание такого треугольника).
Итого для n=9 получается оценка снизу: 30 (36 треугольников всего, из них 3 посчитано по 3 раза).

Если n\vdots 6, то пример существует. Строим пример для n+1 прямой, и 1 прямую выбрасываем, остается как раз n.

А вот что делать с числами n=6k+3 - я не знаю, 9 - наименьшее такое число.