Тождественные преобразования

[Resa]

Здравствуйте! Решая задание, остановился на полпути. Условие: найти значения алгебраических выражений при указанных значениях параметров:

$$\frac {\left( m^2 - \frac 1 {n^2} \right) ^m \left( n + \frac 1 m \right)^{n-m}}{\left( n^2 - \frac 1 {m^2} \right) ^n \left( m - \frac 1 n \right)^{m-n}} \text{ при } m=2, n=1;$$

Итак,

$$\frac {\left( m^2 - \frac 1 {n^2} \right) ^m \left( n + \frac 1 m \right)^{n-m}}{\left( n^2 - \frac 1 {m^2} \right) ^n \left( m - \frac 1 n \right)^{m-n}} = \frac {\left( m^2 - \frac 1 {n^2} \right) ^m \left( m - \frac 1 n \right)^{n-m}}{\left( n^2 - \frac 1 {m^2} \right) ^n \left( n + \frac 1 m \right)^{m-n}} = $$

$$\frac {\left( m + \frac 1 n \right) ^m \left( m - \frac 1 n \right)^m \left( m - \frac 1 n \right)^{n-m}}{\left( n - \frac 1 m \right) ^n \left( n + \frac 1 m \right)^n \left( n + \frac 1 m \right)^{m-n}} = \frac {\left( m + \frac 1 n \right) ^m \left( m - \frac 1 n \right)^n}{\left( n - \frac 1 m \right) ^n \left( n + \frac 1 m \right)^m } = $$

Далее не знаю, как продолжать. С одной стороны, кажется, не могу применить свойства степени, потому что основания отличаются знаками. С другой стороны, кажется, что не могу применить формулу сокращенного умножения, потому что степени отличаются. И вообще, правильно ли я начал решать?
Еще вопрос по Latex. Почему концовка решения отображается знаками меньшего размера? Также решение имеет не одинаковый отступ от левого края. Если кто знает, подскажите. Спасибо.
P. S.: Заметил ошибку в знаках и исправил - исчезли проблемы с размером знаков и левым полем. Как же я раньше не догадался.

[mihaild]

Так подставьте $2$ и $1$ вместо $m$ и $n$, в чем проблема?

[Igrickiy(senior)]

mihaild в сообщении #1378572 писал(а):

Так подставьте $2$ и $1$ вместо $m$ и $n$, в чем проблема?

Уверен, что задание предполагает максимальное упрощение исходного выражения.
И это совершенно реально.
Как вариант, избавиться в скобках от знаменателей...
Только с соблюдением элементарных правил .

[warlock66613]

Resa в сообщении #1378568 писал(а):

не могу применить свойства степени, потому что основания отличаются знаками

Основания отличаются, а вот некоторые показатели совпадают. Надо этим пользоваться!

[Resa]

Igrickiy(senior) в сообщении #1378577 писал(а):

Как вариант, избавиться в скобках от знаменателей...

warlock66613 в сообщении #1378616 писал(а):

Основания отличаются, а вот некоторые показатели совпадают. Надо этим пользоваться!

Продолжаю:

$$\frac {\left( m^2 - \frac 1 {n^2} \right) ^m \left( n + \frac 1 m \right)^{n-m}}{\left( n^2 - \frac 1 {m^2} \right) ^n \left( m - \frac 1 n \right)^{m-n}} = \frac {\left( m^2 - \frac 1 {n^2} \right) ^m \left( m - \frac 1 n \right)^{n-m}}{\left( n^2 - \frac 1 {m^2} \right) ^n \left( n + \frac 1 m \right)^{m-n}} = $$

$$=\frac {\left( m + \frac 1 n \right) ^m \left( m - \frac 1 n \right)^m \left( m - \frac 1 n \right)^{n-m}}{\left( n - \frac 1 m \right) ^n \left( n + \frac 1 m \right)^n \left( n + \frac 1 m \right)^{m-n}} = \frac {\left( m + \frac 1 n \right) ^m \left( m - \frac 1 n \right)^n}{\left( n - \frac 1 m \right) ^n \left( n + \frac 1 m \right)^m } = $$

$$= \frac {\left( \frac {mn+m} {mn} \right)^m \left( \frac {mn-m} {mn} \right)^n } {\left( \frac {mn+n} {mn} \right)^m \left( \frac {mn-n} {mn} \right)^n } = \left( \frac {\frac {m(n+1)} {mn}} {\frac {n(m+1)} {mn}} \right)^m \times \left( \frac {\frac {m(n-1)} {mn}} {\frac {n(m-1)} {mn}} \right)^n =$$

$$=\left( \frac {m(n+1)}{n(m+1)}\right)^m \times \left( \frac {m(n-1)}{n(m-1)}\right)^n = \frac {m^m (n+1)^m m^n (n-1)^n}{n^m (m+1)^m n^n (m-1)^n}=$$

$$=\left( \frac m n \right)^{m+n} \times \left( \frac {n+1}{m+1} \right)^m \times \left( \frac {n-1}{m-1} \right)^n=$$

На мой взгляд, результат не намного проще исходного выражения. Не радует.

[teleglaz]

Resa в сообщении #1378754 писал(а):

Не радует.

Меня тоже.
Приведите к общему знаменателю: $m+\frac{1}{n}=...$

[iifat]

Resa в сообщении #1378754 писал(а):

результат не намного проще исходного выражения

Что, даже $n-1$ для вас ничего не упрощает?

[Resa]

iifat в сообщении #1378762 писал(а):

Что, даже $n-1$ для вас ничего не упрощает?

Согласен, упрощает. Было ожидание, что результат будет проще.

[warlock66613]

Resa, у вас ошибка.

[Resa]

warlock66613 в сообщении #1378785 писал(а):

Resa, у вас ошибка.

teleglaz в сообщении #1378759 писал(а):

Приведите к общему знаменателю: $m+\frac{1}{n}=...$

Понял.

$$\frac {\left( m^2 - \frac 1 {n^2} \right) ^m \left( n + \frac 1 m \right)^{n-m}}{\left( n^2 - \frac 1 {m^2} \right) ^n \left( m - \frac 1 n \right)^{m-n}} = \frac {\left( m^2 - \frac 1 {n^2} \right) ^m \left( m - \frac 1 n \right)^{n-m}}{\left( n^2 - \frac 1 {m^2} \right) ^n \left( n + \frac 1 m \right)^{m-n}} = $$

$$=\frac {\left( m + \frac 1 n \right) ^m \left( m - \frac 1 n \right)^m \left( m - \frac 1 n \right)^{n-m}}{\left( n - \frac 1 m \right) ^n \left( n + \frac 1 m \right)^n \left( n + \frac 1 m \right)^{m-n}} = \frac {\left( m + \frac 1 n \right) ^m \left( m - \frac 1 n \right)^n}{\left( n - \frac 1 m \right) ^n \left( n + \frac 1 m \right)^m } = $$

$$= \frac {\left( \frac {mn+1} n \right)^m \left( \frac {mn-1} n \right)^n } {\left( \frac {mn+1} m \right)^m \left( \frac {mn-1} m \right)^n } = \left( \frac {\frac {mn+1} n} {\frac {mn+1} m} \right)^m \times \left( \frac {\frac {mn-1} n} {\frac {mn-1} m} \right)^n =$$

$$=\left( \frac m n\right)^m \times \left( \frac m n\right)^n = \left( \frac m n \right)^{m+n} = \left( \frac 2 1 \right)^3 = 8$$

iifat в сообщении #1378762 писал(а):

Что, даже $n-1$ для вас ничего не упрощает?

-- 27.02.2019, 19:55 --

Спасибо большое. Мне все больше и больше нравится этот форум.

[Igrickiy(senior)]

Resa

$ \left( \frac m n \right)^{m+n} = 8$
Отлично!
Именно так!