Изложение аксиоматической теории множеств

[alex55555]

Подскажите пожалуйста, где можно скачать некое изложение аксиоматической теории множеств от аксиом к теоремам? В смысле при поиске, например, Zermelo–Fraenkel set theory выдаются ссылки на аксиомы, но собственно вывод отсутствует. Есть ссылка на работу Цермелло на немецком, но она была позднее дополнена, а потому не совсем подходит. Хотя немецкого я тоже не знаю, так что конкретно у меня есть ещё один аргумент против.

Если кто-то поделится ссылками на изложение именно с выводом, то есть от аксиом к теоремам и без пропущенных частей (в смысле полное дерево вывода, без вырезанных ветвей), был бы весьма благодарен.

[Anton_Peplov]

Если Вас интересует изложение на естественном языке, то
Куратовский, Мостовский. Теория множеств.
А если полностью формализованное, то не знаю.

[alex55555]

Anton_Peplov в сообщении #1378130 писал(а):

Если Вас интересует изложение на естественном языке, то
Куратовский, Мостовский. Теория множеств.
А если полностью формализованное, то не знаю.

Было бы интересно любое изложение, где присутствует строгий вывод от аксиом до некоторого набора теорем, признанных математическим сообществом в качестве такого материала по теории множеств, указав на который не возникало бы более сомнений в строгости материала. То есть в учебниках теоремы доказывают по разному, теоремы приводятся не все, аксиомы вообще отсутствуют, а в результате для восстановления дерева вывода от аксиом к теоремам нет необходимых кусков. Если у дерева вывода удалён корень (аксиомы), очевидно, что вывод не будет строгим. Если удалены промежуточные теоремы, ведущие к листьям, опять очевидно - вывод не строгий. С другой стороны я не знаю, в каком виде вообще можно считать теорию множеств хоть сколько-нибудь полной, а потому не знаю, какие теоремы необходимо включать в дерево вывода. Знаю лишь аксиомы. Но от этих корней далее необходимо вырастить теорию. В каком объёме - непонятно. Вот и надеюсь на некий материал, где объём станет понятен просто на основании последовательного вывода от аксиом к теоремам. Но, конечно же, сам объём не столь важен, важнее именно вывод - как из аксиом получается общепринятая теория множеств.

Условно представим себя в ситуации начала 20-го века, когда аксиоматической теории множеств ещё не существует. Далее появляется объявленный здесь в розыск материал и большинство математиков признают его "хорошим" доказательством аксиоматической теории множеств.

[Anton_Peplov]

alex55555 в сообщении #1378151 писал(а):

Было бы интересно любое изложение, где присутствует строгий вывод от аксиом до некоторого набора теорем, признанных математическим сообществом в качестве такого материала по теории множеств, указав на который не возникало бы более сомнений в строгости материала.

Упомянутая мной книга строго соответствует этому требованию. Постулируются аксиомы, потом из них последовательно выводятся одна за другой теоремы. Прорабатывайте её.

[Someone]

Не думаю, что такое изложение можно найти. Если Вам нужны все промежуточные шаги со ссылками на аксиомы и ранее доказанные утверждения, восстанавливайте сами.
Для примера: как я слышал, известный польский математик К. Куратовский, будучи студентом, написал полностью формализованное доказательство теоремы Пифагора, исходя из аксиом Гильберта. Доказательство содержит два десятка страниц совершенно тривиальных рассуждений, читать которые, на мой взгляд, совершенно невозможно. Вы чего-то в этом роде хотите? Ну посмотрите Metamath.

[arseniiv]

Насколько помню, автор того же Metamath ссылался на книжки
Gaisi Takeuti, Wilson M. Zaring. Axiomatic set theory
Gaisi Takeuti, Wilson M. Zaring. Introduction to axiomatic set theory

Я особо в них не вчитывался, но к формализации там должно быть аккуратное отношение. Например, обозначение применения функции отдельной операцией $f`x$, а взятия образа множества $f``X$, как это делается и в MM (или в этих книгах не совсем так — но автор MM хотя бы частично из них что-то почерпнул, это я у него в комментариях видел; кстати комментарии полезно почитать — там как раз объясняется и почему что-то сделано, и как, в том числе синтаксические подстановки опять со ссылкой на статью, где они рассматриваются, или какие-то использованные варианты аксиом логики и т. п.), когда в неформальном изложении обычно используют скобки и там, и там.

Ну и я верю, что есть и другие книги, и наверняка даже книги получше, но знаю только про эти. Стоит на всякий случай ожидать, что их мало и что они могут содержать чуть больше ошибок чем книги по областям, интерес к которым больше.

-- Вс фев 24, 2019 22:05:41 --

В любом случае стоит сначала или параллельно почитать книгу вроде тех же Куратовского, Мостовского, чтобы к формализации были, скажем так, правильные вопросы. Теория множеств достаточно сложна.

[alex55555]

Anton_Peplov в сообщении #1378153 писал(а):

Упомянутая мной книга строго соответствует этому требованию.

Спасибо, скачал, почитал введение, там действительно обещано всё от аксиом и именно по ZF/ZFC. Пригодится!

-- 25.02.2019, 00:26 --

Someone в сообщении #1378157 писал(а):

Ну посмотрите Metamath.

Вообще да, это тоже вариант. Но поскольку он является одной из многих интерпретаций на машинном языке, вряд ли такой источник будет рассмотрен большинством математиков в качестве материала со строгим выводом. Сразу всплывут вопросы по самой системе и на сколько ей можно доверять (наличие ошибок). Плюс интерпретация создателей правил (обязательность реформулирования, например).

Но тем не менее - мысль полезная. Особенно с точки зрения относительно легко проследить зависимости между аксиомами/теоремами.

-- 25.02.2019, 00:32 --

arseniiv в сообщении #1378162 писал(а):

Насколько помню, автор того же Metamath ссылался на книжки
Gaisi Takeuti, Wilson M. Zaring. Axiomatic set theory
Gaisi Takeuti, Wilson M. Zaring. Introduction to axiomatic set theory

Погуглил, но не нашёл возможности скачать по простому. Пока воспользуюсь Куратовским. Хотя пока гуглил наткнулся на такой вот сервис хранения определений и доказательств. Занимательно, хотя на фоне metamath всё же бледнеет по строгости, а на фоне Куратовского по качеству и последовательности изложения.

[arseniiv]

alex55555 в сообщении #1378190 писал(а):

Погуглил, но не нашёл возможности скачать по простому.

Ну вот на либгене есть, сейчас посмотрел.

[alex55555]

arseniiv в сообщении #1378369 писал(а):

Ну вот на либгене есть, сейчас посмотрел.

Да, есть. Я обычно просто гуглю, не выделяю известных математикам сайтов.

Скачал, это учебник из двух частей с такими введениями:

Цитата:

Our main objective in this text is to acquaint the reader with Zermelo-Fraenkel set theory and bring him to a study of interesting results in one semester.

Цитата:

In this book we represent a useful technique for constructing models of Zermello-Fraenkel set theory.

Видимо именно конструирование моделей послужило мотивацией для использования этой книги (второй из серии) для создания модели в metamath.

[arseniiv]

Вряд ли. Metamath же не имеет дела с моделями в том смысле как они понимаются в логике-и-теории-множеств (а имеет только с выводами). Словоупотребление там не очень соответствует бытовому, модели оттуда — это скорее «возможные реальности», а не «модели мира» (которые в логике как раз теории).

-- Пн фев 25, 2019 23:02:30 --

alex55555 в сообщении #1378383 писал(а):

Я обычно просто гуглю, не выделяю известных математикам сайтов.

Ну бросьте, либген это не что-то, о чём в курсе сугубо математики.

[пианист]

(:-)

alex55555 в сообщении #1378190 писал(а):

вряд ли такой источник будет рассмотрен большинством математиков в качестве материала со строгим выводом

Боюсь, что "материал со строгим выводом" математиков интересует не более, чем кролики со склонов Попокатепетль

[Igrickiy(senior)]

Рекомендую:
Френкель, Бар-Хиллел Основания теории множеств
Ван Хао,Мак-Нотон Аксиоматические системы теории множеств
Могут быть полезны:
Коэн Теория множеств и континуум-гипотеза
Хаусдорф Теория множеств
Александров Введение в теорию множеств и общую топологию

[alex55555]

Igrickiy(senior) в сообщении #1378501 писал(а):

Ван Хао,Мак-Нотон Аксиоматические системы теории множеств

Весьма интересный обзор. Основной плюс - краткость. Для охвата темы "с высоты".

Igrickiy(senior) в сообщении #1378501 писал(а):

Френкель, Бар-Хиллел Основания теории множеств

Тоже интересно, но уже не кратко. Из плюсов пока вижу интересную последовательность изложения и автора, по сути поясняющего свои же построения.

Спасибо, полезно!

Правда суммарный объём рекомендаций в теме уже вылился в целую библиотеку. Пока Куратовский кажется вполне подходящим, подробен, основательно подходит, мало что пропускает, плюс его первым начал смотреть. Остальные, видимо, для общего развития и прояснения специфических деталей.

[Igrickiy(senior)]

alex55555 в сообщении #1378688 писал(а):

Правда суммарный объём рекомендаций в теме уже вылился в целую библиотеку.

Я перечислил лишь часть книг по этой тематике, которые стоят у меня на полках.