Давайте будем считать

[timots]

Начало современной алгебры положила теория Галуа. Именно из этой теории возникли такие понятия как группы, кольца и расширение поля. В то же время эта теория ограничивается решением в радикалах уравнений n степени.
Метод Ньютона дающий решение уравнений n степени относится к графическим методам отделения корней. Дифференциальное уравнения $y^{(n)}=y$ дает возможность перенести этот метод из графического в аналитический. И доказательство аналогично доказательству графическому.
$\frac{f^ {(n)}} {f'}=\frac{f}{f’}$ Тогда значение $x_0, x_1, x_2 \cdots$вычисленные по формуле $x_{n+1}=x_n- \frac{f(x_n)}{f’(x_n)} $ при $n=1, 2, 3\cdots$ образует последовательность, которая стремится к корню уравнения $f(x)=0$.
Уже это мне кажется довольно любопытным и достойным внимания.
Так как корни уравнения $z^n=1$ различны, то определитель Вронского не равен нулю.
$ \begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1(x)^{n-1}&\cdots&y_n(x){n-1}\end{vmatrix}\neq0$
А это значит, что можно построить фундаментальную систему решений из $n$ уравнений.
Система уравнений для дифференциального уравнения $y^{(n)}=y$ связывает n корней с $n$ формулами, поэтому ее можно применять для метода Гаусса и метода Крамера. Выразив формулы через систему уравнений.
Общая формула для метода Гаусса для определения $x_i(i=1, 2, \cdots, n) $ запишется так: $f^{(i-1)}=x_i=y_i-\sum\limits_{k=i+1}^{n}b_{ik}x_k$
Так как через систему можно выразить формулы тогда многочлены от двух переменных можно выразить через систему. А тем более если известна общая формула для многочленов $n$ степени.
Формула $x^n-y^n=z^n$ известна как формула Ферма. Если $z$ не кратно $n$ то оно раскладывается на множители $ (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+y^{n-1})=z^n_1z^n_2$ тогда $ f^{(n-1)}=x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+y^{n-1}$, $ f^{(n)}=z^n$ тогда или $f^{(n-1)}\in f^{(n)} $ или $f^{(n)} \in f^{(n-1)} $ то есть мы имеем дело с производной от сложной функции. Но это не является доказательством теоремы Ферма так как $ f'=(x^n+a)'=x^n’$. Но можно использовать свойства ряда целых чисел $ z^n+(-1)^1C_1^n (z-1)^n+\cdots+(-1)^i C_i^n (z-i)^n+\cdots+(z-n)^n=n! $.
Тогда используя что $ z_1^n-0^n=z_1^n$ можно свести доказательство для случая когда $ x-y=1$ Для второй степени получим $ (\frac{z^2+1}{2})^2-(\frac{z^2-1}{2})^2=z^2$
Можно для диспута взять теорему Ферма, но меня интересует дискуссия на тему свойства и применения дифференциального уравнения $f^{(n)}=f$.
Свойства дифференциального уравнения.
1. Через дифференциальное уравнения можно выразить метод Ньютона. Тогда дифференциальное уравнении является обобщением не только линейных уравнений,- обычных и дифференциальных, но и аналитических функций.
2. Дифференциальное уравнения дает возможность отобразить конечную цепочку формул через систему линейных уравнений.
3. ДУ дает возможность рассматривать многочлены от нескольких переменных как многочлен от одной переменной.
4. Так как характеристическое уравнения дает $\sqrt[n]{1}$,то определитель Вронского при $x=0$ аналогично дискретному распределению Фурье, а возможность составить систему уравнений связано с распределением случайны величин.
5. ДУ аналогично формуле $d_nd_{n+1}=0$ которая применяется в алгебре Ли и в гомологической алгебре, но ограничением здесь является не $0$, а цикличность уравнения $f^{(n)}=f$.
6. Цикличность дает возможность связать конечные группы с компактными группами.
7. ДУ дает возможность рассматривать как циклические группы не только числа вида $\sqrt[n]{a}$ но произвольный набор чисел.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: продолжение темы из Пургатория. Очередное.

-- 19.02.2019, 19:30 --

timots
Очередное предупреждение за очередное продолжение темы из Пургатория.