Про блок

[StaticZero]

$$ \begin{tikzpicture} \draw[->] (-2,-2)--(-2,-3); \draw (-2.25, -2.5) node {$x$}; \draw (-3,1)--(3,1); \draw (0, 1)--(0,0); \draw (0,0) circle (0.5cm); \draw (0.5,0)--(0.5,-4); \draw (0.25,-4) circle (0.25cm); \draw (0,-4)--(0,-1.5); \draw (-0.5, -1.5) circle (0.5cm); \draw (-0.5, -1.75) node {$m_3$}; \draw[dotted] (-0.5, -1.5)--(3, -1.5); \draw (3.25, -1.5) node {$x_3$}; \draw (-1, -1.5)--(-1,-3.5); \draw (-0.5,0)--(-0.5, -1.5); \draw[dotted] (-0.5, -3.5)--(3, -3.5); \draw (3.25, -3.5) node {$x_1$}; \draw (-1.5,-4) rectangle (-0.5, -3.5); \draw (-1,-3.75) node {$m_1$}; \draw (0.25,-4)--(0.25,-4.5); \draw (0,-5.5) rectangle (0.5, -4.5) \draw (0.25,-5) node {$m_2$}; \draw[dotted] (0.5,-4.5)--(3, -4.5); \draw (3.25,-4.5) node {$x_2$}; \draw [->] (3.75,-2) -- (3.75,-3); \draw (4, -2.5) node {$\mathbf g$}; \end{tikzpicture} $$

Кинематическая связь

$$ \dot x_1 - \dot x_3 + 2 \dot x_2 = 0 $$

которая интегрируется

$$ g(x_1, x_2, x_3) = x_1 - x_3 + 2 x_2 - C = 0. $$

Лагранжиан

$$ \mathcal L = \sum \limits_{i=1}^3 \left( \frac{m_i \dot x_i^2}{2} + m_i g x_i \right). $$

Задача Лагранжа

$$ S = \int \mathcal L(x, \dot x) \ \mathrm dt \longrightarrow \operatorname{extr}, \quad g(x) = 0, \quad x = (x_1, x_2, x_3). $$

Уравнения Эйлера--Лагранжа

$$ \frac{\partial \mathcal L}{\partial x_i} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x_i} = \lambda(t) \frac{\partial g}{\partial x_i} $$

вместе со связью образуют систему уравнений

$$ \begin{cases} m_1 g - m_1 \ddot x_1 = \lambda, \\ m_2 g - m_2 \ddot x_2 = 2 \lambda, \\ m_3 g - m_3 \ddot x_3 = - \lambda, \\ \ddot x_1 - \ddot x_3 + 2 \ddot x_2 = 0. \end{cases} $$

Наложение условия $m_3 = 0$ (изначально блок был безмассовый) даёт решение $\ddot x_1 = \ddot x_2 = g$, $\ddot x_3 = 3 g$, $\lambda = 0$.

По-моему, выглядит, как бред: оба груза свободно падают, нить не натянута, при этом блок $3$ падает с утроенным ускорением свободного падения. Однако, ошибку я найти не могу (обычный способ через силу $T$ и прочее даёт то же самое). Ещё при этом оказывается, что какие там в связи $g$ коэффициенты перед $x_1, x_2, x_3$ стоят вообще не важно, так как $\lambda$ всё равно обнулится. В общем, либо я опять где-то ошибся, либо система на самом деле слегка контринтуитивная.

Что думаете?

[pogulyat_vyshel]

Все верно

[Munin]

StaticZero в сообщении #1376593 писал(а):

По-моему, выглядит, как бред: оба груза свободно падают, нить не натянута

А собственно, за что им держаться?

[miflin]

А энергия вращения блока $m_3$ разве не должна входить в лагранжиан?

[Sicker]

Я тоже недавно удивлялся этому в похожей задаче

[amon]

StaticZero в сообщении #1376593 писал(а):

По-моему, выглядит, как бред: оба груза свободно падают, нить не натянута, при этом блок $3$ падает с утроенным ускорением свободного падения.

Пусть блок 3 не вращается (что бы с вращением не заморачиваться), а нить скользит по нему без трения. Тогда, при конечной массе блока, сила натяжения, равная Вашему множителю Лагранжа, вовсе не ноль, а равна вполне конечной величине (если не соврал)

$$ T=\frac{2gm_1m_2m_3}{m_1m_2+m_1m_3+4m_1m_2}, $$

и чуда в том, что третий блок движется с ускорением больше $g$ нет. Это ускорение тем больше, чем меньше масса блока. Относительное (слабенькое) чудо в том, что предел $m_3\to 0$ этого ускорения оказывается конечным, поскольку натяжение падает с падением $m_3$ до нуля.

[pogulyat_vyshel]

Непонятно только зачем писать уравнения Лагранжа со множителями там где спокойно пишутся уравнения Лагранжа. Система с двумя степенями свободы $x_1,x_2$ -- обобщенные координаты.

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1376867 писал(а):

Непонятно только зачем писать уравнения Лагранжа со множителями там где спокойно пишутся уравнения Лагранжа.

А поупражняться? К стати, то что множитель Лагранжа оказался (с точностью до знака) равным натяжению, это ведь не случайно? Какая-нибудь наука на этот счет есть? А то у меня это место совсем склерозом побило.

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1376887 писал(а):

жняться? К стати, то что множитель Лагранжа оказался (с точностью до знака) равным натяжению, это ведь не случайно?

Не случайно Линейные комбинации со множителями Лагранжа это реакции идеальных связей

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1376890 писал(а):

Не случайно Линейные комбинации со множителями Лагранжа это реакции идеальных связей

А где это прочитать в плоской, доступной для идиотов форме?

-- 18.02.2019, 16:07 --

Нашел соответствующее место у Болотина.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1376892 писал(а):

Нашел соответствующее место у Болотина.

Да, именно. Вообще тут геометрически все настолько прозрачно и соответствует обыденной интуиции... Но традиция такова, что людям это очень редко говорят явно.
И так начинается лютый оффтоп и срывание покровов :)

Рассмотрим систему материальных точек с массами $m_1,\ldots,m_N$ и радиус-векторами $\bs r_1,\ldots \bs r_N$. На точку $m_i$ действует сила $\boldsymbol G_i(t,\bs r_1,\ldots \bs r_N)$.

Пусть $\Sigma=\mathbb{R}^{3N}=\{r=(\boldsymbol r_1,\ldots,\boldsymbol r_N)\}$. Введем в пространстве $\Sigma$ скалярное произведение формулой

$$\langle u,v\rangle=\sum_{k=1}^Nm_k(\boldsymbol u_k,\boldsymbol v_k),\quad u=(\boldsymbol u_1,\ldots, \boldsymbol u_N),\quad v=(\boldsymbol v_1,\ldots, \boldsymbol v_N)\in\Sigma.$$

Введем вектор

$$G=\Big(\frac{1}{m_1}\boldsymbol G_1,\ldots,\frac{1}{m_N}\boldsymbol G_N\Big)\in\Sigma.$$

уравнения движения системы приобретают вид (это просто система вторых законов Ньютона для каждой точки):

$$\langle \ddot r,\cdot\rangle=\langle G,\cdot\rangle.\qquad (*)$$

Слева и справа стоят линейные функции $\xi\mapsto \langle \ddot r,\xi\rangle$ и $\xi\mapsto \langle G,\xi\rangle,\quad \xi\in\Sigma$.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конфигурационным пространством системы называется $m-$мерное гладкое многообразие $M\subset \Sigma$ такое, что если $r(0)\in M$ и $\dot r(0)\in T_{r(0)}M$ то решение уравнений движения $r(t)\in M$ при всех $t$.

Пусть $P:\Sigma\to T_rM,\quad P^\perp:\Sigma\to (T_rM)^\perp$ -- ортогональные проекторы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1) Форма $\langle G,P^\perp\cdot\rangle$ называется реакцией идеальной связи, вынуждающей систему двигаться по многообразию $M$.

2) Линейная форма $\langle G,P\cdot\rangle$ называется формой обобщенных (активных) сил.

Очевидно, $\langle G,\cdot\rangle=\langle G,P^\perp\cdot\rangle+\langle G,P\cdot\rangle.$

Введем уравнение

$$\langle \ddot r,P\cdot\rangle=\langle G,P\cdot\rangle.\qquad (**)$$

В более развернутом виде формула (**) означает

$$\langle \ddot r(t), u\rangle=\langle G(t,r(t)), u\rangle,\quad \forall u\in T_{r(t)}M.$$

Введем на многообразии $M$ локальные координаты $x=(x^1,\ldots, x^m)$ так, что локально это многообразие окажется заданным параметрически $r=\rho(x)$. Локальным координатам соответствует базис в $T_\rho M$:

$$\partial_i=\frac{\partial \rho(x)}{\partial x^i}.$$

ТЕОРЕМА. Пусть $u=u^i\partial_i\in T_\rho M.$ Тогда

$$\langle \ddot r(t), u\rangle=\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot x^i}-\frac{\partial T}{\partial x^i}\Big)u^i.$$

Где $T=\frac{1}{2}\langle \dot r,\dot r\rangle$ -- кинетическая энергия системы.
В связи с этой теоремой хорошо вспомнить про кривизну многообразия и всякие формы поверхности.

Таким образом, в координатах уравнения (**) приобретают вид

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot x^i}-\frac{\partial T}{\partial x^i}=Q_i.$$

ТЕОРЕМА. Пусть $r(0)\in M$ и $\dot r(0)\in T_{r(0)}M$. Тогда функция $r(t)=\rho(x(t))$ удовлетворяет уравнению (*) тогда и только тогда ,когда функция $x(t)$ удовлетворяет уравнению (**).

Доказательство этой теоремы следует сразу из того , что для обеих систем (*) и (**) верна теорема существования и единственности.

Теперь, что касается уравнений Лагранжа со множителями. Предположим, что многообразие $M$ задано системой независимых уравнений $f_j(r)=0,\quad j=1,\ldots,n=3N-m.$ Тогда

$$T_rM=\bigcap_{j=1}^n\mathrm{ker}\,d f_j(r)\subset \mathrm{ker}\,\langle G,P^\perp\cdot\rangle.$$

по известной теореме из линейной алгебры ,найдутся числа $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ такие, что

$$\langle G,P^\perp\cdot\rangle=\sum_{j=1}^n\lambda_jd f_j(r).$$

[amon]

pogulyat_vyshel, спасибо!

[Igrickiy(senior)]

StaticZero
Два небольших вопроса.
Первый.
Как получено соотношение:

StaticZero в сообщении #1376593 писал(а):

Кинематическая связь

$$ \dot x_1 - \dot x_3 + 2 \dot x_2 = 0 $$

Второй.
А можно было решить эту незамысловатую школьную задачку по-школьному?
Не используя стрельбы из пушек по воробьям.
Без лагранжианов и прочего.
Или это просто упражнение именно в лагранжианах?
Буду признателен за ответ.

[StaticZero]

Igrickiy(senior) в сообщении #1377604 писал(а):

Или это просто упражнение именно в лагранжианах?

Я проверял ответ.

Igrickiy(senior) в сообщении #1377604 писал(а):

по-школьному?

$$ \begin{cases} m_3 a_3 = m_3 g + T\\ m_2 a_2 = m_2 g - 2T\\ m_1 a_1 = m_1 g - T\\ a_1 - a_3 + 2 a_2 = 0\\ \end{cases} $$

Igrickiy(senior) в сообщении #1377604 писал(а):

Как получено соотношение:

Методом посмотрения. Пронумеруем вертикальные участки нити. Пусть их суммарная длина $\sum \ell_i = L$; измениться она не может. Ось вниз. Обозначение $\Delta x_i = x_i' - x_i$, штрихованный момент справа, нештрихованный слева. На рисунке следующая ситуация.

Груз 1 едет в положительном направлении, значит, длина $\text{\color{red} красной}$ добавки к первому участку будет равна $+\Delta x_1 > 0$ (это движение удлиняет участок).
Блок 3 едет в отрицательном направлении, значит, длина $\text{\color{green} зелёной}$ добавки к первому участку равна $-\Delta x_3 > 0$ (это движение удлиняет участок).
Итог:

$$ 1' = 1 + {\color{red} \Delta x_1} - {\color{green} \Delta x_3}. $$

Блок 2 едет в отрицательном направлении, значит, длина $\text{\color{blue} синей}$ добавки ко второму участку будет равна $+\Delta x_2 < 0$ (это движение укорачивает участок).
Блок 3 едет в отрицательном направлении, значит, длина $\text{\color{green} зелёной}$ добавки ко второму участку равна $-\Delta x_3 > 0$ (это движение удлиняет участок).
Итог:

$$ 2' = 2 + {\color{blue} \Delta x_2} - {\color{green} \Delta x_3}. $$

Третий участок укорачивается, соответствующая добавка $+\Delta x_2 < 0$:

$$ 3' = 3 + {\color{blue} \Delta x_2}. $$

Блок 3 едет в отрицательном направлении, значит, длина добавки к четвёртому участку равна $+\Delta x_3 < 0$ (это движение укорачивает участок, отмеченный рыжим цветом на левой картинке).
Итог:

$$ 4' = 4 + {\color{green} \Delta x_3}. $$

Теперь складываем все четыре уравнения.

$$ \underbrace{1' + 2' + 3' + 4'}_{L' = L}= \underbrace{1 + 2 + 3 + 4}_{L} + {\color{red} \Delta x_1} - {\color{green} \Delta x_3} + {\color{blue} \Delta x_2} - {\color{green} \Delta x_3} + {\color{blue} \Delta x_2} + {\color{green} \Delta x_3}. $$

Окончательно

$$ \Delta x_1 - \Delta x_3 + 2 \Delta x_2 = 0. $$

$$ \begin{tikzpicture} \draw (-1,1)--(6,1); \draw (0, 1)--(0,0); \draw (0,0) circle (0.5cm); \draw (0.5,0)--(0.5,-4) node[pos=0.5, right] {$3$}; \draw (0.25,-4) circle (0.25cm); \draw (0,-4)--(0,-1.5) node[pos=0.5, left] {$2$}; \draw (-0.5, -1.5) circle (0.5cm); \draw (-1, -1.5)--(-1,-3.5) node[pos=0.5, left] {$1$}; \draw (-0.5,0)--(-0.5, -1.5) node[pos=0.5, left] {$4$} \draw (-1.5,-4) rectangle (-0.5, -3.5); \draw (0.25,-4)--(0.25,-4.5); \draw (0,-5.5) rectangle (0.5, -4.5) \draw[dotted] (0,-4)--(6, -4); \draw[dotted] (-0.5, -3.5)--(3, -3.5); \draw[dotted] (-1, -1.5)--(6, -1.5); \draw[dotted] (-1, -1)--(6, -1); %---------------------------------------- \draw (4, 1)--(4,0); \draw (4,0) circle (0.5cm); \draw (4.5,0)--(4.5,-2.5); \draw (4.25,-2.5) circle (0.25cm); \draw (4,-2.5)--(4,-1); \draw (3.5, -1) circle (0.5cm); \draw (3, -1)--(3,-4.5); \draw (3.5,-5) rectangle (2.5, -4.5); \draw (3.5,0)--(3.5, -1); \draw (4.25,-2.5)--(4.25,-3); \draw (4,-4) rectangle (4.5, -3) \draw [thick, red] (3,-4.5)--(3,-3.5); \draw [thick, blue] (4,-2.5)--(4,-4); \draw [thick, blue] (4.5,-2.5)--(4.5,-4); \draw [thick, green] (3,-1)--(3,-1.5); \draw [thick, green] (4,-1)--(4,-1.5); \draw [thick, orange] (-0.5,-1)--(-0.5,-1.5); \end{tikzpicture} $$

[Igrickiy(senior)]

StaticZero
Вопрос.
Не проще и не логичнее ли использовать постоянство длины всей нити, выраженную через те же самые координаты и длины полуокружностей на блоках? Потом это соотношение между координатами можете дифференцировать столько раз, сколько нужно.
Как Вы считаете, какой способ проще?