Ранг над полем матрицы

[situs]

Доброго времени суток!

Существует ли классическое определение "ранга над полем" матрицы? К примеру, ранг над $\mathbb{Z}_2$ матрицы $A$ равен 2:

$A = \begin{pmatrix} 0 &1 &1 \\ 1 &0 &1 \\ 1 &1 &0 \end{pmatrix}$.$

Видно, что среди любых трёх строк матрицы $A$ найдутся не менее двух сумма которых по модулю 2 будет равна 0 или минимальное число линейно независимых строк такой матрицы равно 2. Ранг - это и есть минимальное число линейно независимых строк или столбцов.

Может все таки есть где нибудь классическое определение термина "ранг над $\mathbb{Z}_2$" матрицы, где об этом почитать подробнее? Помогите, пожалуйста.

[Otta]

situs в сообщении #1376328 писал(а):

минимальное

Максимальное.

situs в сообщении #1376328 писал(а):

Может все таки есть где нибудь классическое определение термина "ранг над $\mathbb{Z}_2$" матрицы,

Оно же и есть классическое. Над любым полем.
Правда, я предпочитаю операторный язык - чтобы не зависеть от базиса. Размерность образа.

[Munin]

Вы всё перепутали. Не "ранг над полем матрицы", а "ранг (матрицы над полем)". То есть, рассматривается конструкция матриц над полем - их элементы берутся из этого поля. И дальше у такой матрицы ранг определяется по стандартному определению.

[situs]

Otta в сообщении #1376332 писал(а):

Оно же и есть классическое.

Виноват. Так просто? "Ранг над полем" - это максимальное число линейно независимых строк или столбцов - такое классическое определение?

Munin в сообщении #1376335 писал(а):

Вы всё перепутали. Не "ранг над полем матрицы", а "ранг (матрицы над полем)". То есть, рассматривается конструкция матриц над полем - их элементы берутся из этого поля. И дальше у такой матрицы ранг определяется по стандартному определению.

Такая формулировка была нам дана под запись. Просто путает формулировка "ранг над полем". Она нам так и давалась - точно по записи "ранг над $\mathbb{Z}_2$" матрицы. Я это читаю, как ранг над полем $\mathbb{Z}_2$ матрицы.

Вот ранг матрицы это понятно. Просто матрица над произвольным полем это тоже понятно. Вот если бы было "ранг" матрицы над полем. Что тут над полем - ранг или матрица? Как будто бывает такое, что есть матрицы над некоторым полем $K_1$, а их ранг определяется над другим полем $K_2$. Такого же не бывает.

[Otta]

Матрица над полем. Ранг матрицы. Ранг матрицы над полем.
Приведенную Вами матрицу можно рассматривать как матрицу и над полем $\mathbb F_2$, и над полем $\mathbb R$. Вполне возможно, ранги будут разные. Не знаю. Проверьте :)

[situs]

Otta в сообщении #1376339 писал(а):

Матрица над полем. Ранг матрицы. Ранг матрицы над полем.
Приведенную Вами матрицу можно рассматривать как матрицу и над полем $\mathbb F_2$, и над полем $\mathbb R$. Вполне возможно, ранги будут разные. Не знаю. Проверьте :)

Над полем $\mathbb{R}$ ранг матрицы равен 3.

[Otta]

situs в сообщении #1376340 писал(а):

Над полем $\mathbb{R}$ ранг матрицы равен 3.

Ну вот.

situs в сообщении #1376337 писал(а):

Такая формулировка была нам дана под запись. Просто путает формулировка "ранг над полем". Она нам так и давалась - точно по записи "ранг над $\mathbb{Z}_2$" матрицы.

Полностью можно формулировку?

[situs]

Вот видите. Я написал свой ответ и Вы же меня поняли? Думаю да.

А я же написал "над полем $\mathbb{R}$ ранг", а уже потом слово "матрицы".

Я говорю о том, что формулировка так и вглядит "ранг над $\mathbb{Z}_2$ матрицы" и это можно понять как "ранг над заданным полем матрицы", а не как "ранг матрицы над заданным полем".

[Otta]

situs в сообщении #1376344 писал(а):

Вот видите. Я написал свой ответ и Вы же меня поняли? Думаю да.

Я Вас поняла. Над полем $\mathbb{R}$ ранг матрицы равен 3 = ранг матрицы над полем $\mathbb{R}$ равен 3.
Да, конечно, в русском языке слова можно переставлять. Иногда от этого смысл не меняется. Иногда меняется. Иногда теряется вовсе. Вы спрашивали, как понимать, я пытаюсь ответить. Вопрос еще остался?

[Munin]

Вообще говоря, если строго, сами значки $0,1$ только случайно совпадают как обозначения элементов $\mathbb{Z}_2$ и $\mathbb{R}.$ Если аккуратно, то и их надо обозначать по-разному, например, $1_2$ и $1_{\mathbb{R}}.$ Тогда станет видно, что речь вообще-то о разных матрицах:

$$\begin{pmatrix} 0_2 &1_2 &1_2 \\ 1_2 &0_2 &1_2 \\ 1_2 &1_2 &0_2 \end{pmatrix}\quad\text{и}\quad\begin{pmatrix} 0_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} \\ 1_{\mathbb{R}} &0_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} \\ 1_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} &0_{\mathbb{R}} \end{pmatrix}.$$

[Slav-27]

Надо просто сначала понять, чем являются элементы матрицы. Часто элементы матрицы являются элементами какого-то поля; в таком случае определён её ранг.

Если неизвестно, чем являются элементы матрицы, то ни линейную зависимость, ни ранг определить нельзя. (Может оказаться, что одно поле вложено в другое, большее поле; в таком случае неважно, в каком из них считать ранг; это очевидно, докажите.)

Что же касается того, о чём вы говорите, то здесь дело просто в обозначениях. Символом $1$, например, обозначается как единица поля вещественных чисел, так и единица поля остатков от деления на $2$. Из-за этого конфликта обозначений некорректно спрашивать, какой ранг у матрицы из 1-го поста, не уточнив сначала, что именно обозначено символами $0$ и $1$.

[situs]

Большое мерси за помощь. Для себя я понял, что корректнее будет говорить "ранг матрицы над полем ...".

-- 16.02.2019, 00:56 --

Munin в сообщении #1376351 писал(а):

Вообще говоря, если строго, сами значки $0,1$ только случайно совпадают как обозначения элементов $\mathbb{Z}_2$ и $\mathbb{R}.$ Если аккуратно, то и их надо обозначать по-разному, например, $1_2$ и $1_{\mathbb{R}}.$ Тогда станет видно, что речь вообще-то о разных матрицах:

$$\begin{pmatrix} 0_2 &1_2 &1_2 \\ 1_2 &0_2 &1_2 \\ 1_2 &1_2 &0_2 \end{pmatrix}\quad\text{и}\quad\begin{pmatrix} 0_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} \\ 1_{\mathbb{R}} &0_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} \\ 1_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} &0_{\mathbb{R}} \end{pmatrix}.$$

Таких замудренных обозначений я нигде не встречал.

[Munin]

situs в сообщении #1376355 писал(а):

Таких замудренных обозначений я нигде не встречал. :o

Разумеется. Они просто для того, чтобы пояснить вам, о чём речь.

Иногда элементы групп и полей $\mathbb{Z}_p$ обозначаются $\overline{0},\overline{1},\overline{2}\ldots$

-- 16.02.2019 01:01:50 --

Для наглядной демонстрации отличий:

$$0-\begin{pmatrix} 0_2 &1_2 &1_2 \\ 1_2 &0_2 &1_2 \\ 1_2 &1_2 &0_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0_2 &1_2 &1_2 \\ 1_2 &0_2 &1_2 \\ 1_2 &1_2 &0_2 \end{pmatrix}$$

$$0-\begin{pmatrix} 0_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} \\ 1_{\mathbb{R}} &0_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} \\ 1_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} &0_{\mathbb{R}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0_{\mathbb{R}} &-1_{\mathbb{R}} &-1_{\mathbb{R}} \\ -1_{\mathbb{R}} &0_{\mathbb{R}} &-1_{\mathbb{R}} \\ -1_{\mathbb{R}} &-1_{\mathbb{R}} &0_{\mathbb{R}} \end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix} 0_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} \\ 1_{\mathbb{R}} &0_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} \\ 1_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} &0_{\mathbb{R}} \end{pmatrix}$$

-- 16.02.2019 01:04:16 --

Вычисление

$$\begin{pmatrix} 0_2 &1_2 &1_2 \\ 1_2 &0_2 &1_2 \\ 1_2 &1_2 &0_2 \end{pmatrix}^2\quad\text{и}\quad\begin{pmatrix} 0_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} \\ 1_{\mathbb{R}} &0_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} \\ 1_{\mathbb{R}} &1_{\mathbb{R}} &0_{\mathbb{R}} \end{pmatrix}^2$$

оставлю на самостоятельное упражнение :-)

[iifat]

(Оффтоп)

Slav-27 в сообщении #1376354 писал(а):

вообще говоря, бывает ранг строчный, ранг столбцовый и ранг минорный; для квадратных матриц они совпадают

Вот тут можно поподробнее? Насколько я помню, над полем действительных чисел совпадают они всегда; есть какие-то экзотические поля, где это не так?

[Padawan]

iifat в сообщении #1376374 писал(а):

есть какие-то экзотические поля, где это не так?

Нет. Большая часть линейной алгебры верна над любым полем.